El momento angular es una magnitud vectorial que utilizamos en física para caracterizar el estado de rotación de los cuerpos. En este apartado trataremos los siguientes puntos:

Adicionalmente, puede que te interese profundizar en el concepto de sólido rígido.

Antes de comenzar a tratar el momento angular en sí, debemos hablar del convenio que seguimos cuando tratamos las magnitudes angulares como vectores.

Magnitudes angulares vectoriales

Para poder describir con precisión y coherencia cómo se comportan los cuerpos cuando rotan hemos de presentar como vectores las magnitudes angulares cinemáticas. Para ello debemos llegar a algún tipo de acuerdo sobre la dirección y sentido que presentarán estás magnitudes, ya que estos nos son tan claros como el caso de la velocidad lineal, por ejemplo, o la fuerza que se ejerce sobre una partícula.

Consideraremos como punto de aplicación el centro geométrico y como dirección el eje de giro. El sentido del vector varía en función de la magnitud que consideramos.

Nombre Símbolo Valor Dirección Sentido
Posición angular φ  -- La del eje de giro Regla mano derecha
Velocidad angular ω  ω=dφdt  La del eje de giro Regla mano derecha
Aceleración angular α  α=dωdt  La del eje de giro En función de si hace crecer o decrecer ω 

Para determinar el sentido de la velocidad angular usamos el pulgar de nuestra mano derecha, debiendo hacer coincidir el resto de dedos con el sentido del giro

Además, podemos relacionar las magnitudes angulares anteriores con las lineales velocidad instantánea y aceleración tangencial a través de las siguientes expresiones:

v=ω×R 

at=α×R

Momento angular de un punto material

Se define el momento angular o cinético de una partícula material respecto a un punto O como el momento de su cantidad de movimiento, es decir, el producto vectorial de su vector de posición por su momento lineal:

L=r×p=r×m·v

Donde:

  • L : Momento angular o cinético del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el kg·m2·s-1
  • r : Vector de posición del cuerpo respecto al punto O
  • p :Cantidad de movimiento del cuerpo. También se le conoce como momento lineal. Es el producto de la masa del cuerpo (m), medida en el Sistema Internacional (S.I) en kg, por su velocidad ( v ), medida en m/s. Su unidad de medida por tanto, en el Sistema Internacional, es el kg·m·s-1

El momento angular de una partícula L respecto a O es perpendicular al plano formado por v y p. Su sentido se determina por la regla de la mano derecha.

El momento angular de un punto material se define a partir de un vector de posición y una partícula puntual en movimiento, esto es, con cierta velocidad instantánea. Observa que no es una magnitud propia del cuerpo, sino que depende del punto de referencia que se escoja. Su significado físico tiene que ver con la rotación: El momento angular caracteriza el estado de rotación de un punto material, del mismo modo  que el momento lineal caracteriza el estado de traslación lineal. Para entender bien esta idea, vamos a presentar una nueva magnitud: el momento de inercia.

Momento de Inercia

Podemos definirlo para el caso concreto de los movimientos circulares.

Se define el momento de inercia I de una masa puntual como el producto de la masa de dicho cuerpo por su distancia al eje de giro. Su expresión viene dada por:

I=m·r2

Donde:

  • : Momento de inercia. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I) es el kg·m2
  • : Masa del cuerpo. Su unidad de medida en el SIstema Inernacional (S.I.) es el jg
  • : Es la distancia al centro de giro. También se puede decir que es el módulo del vector de posición del cuerpo respecto al centro de giro. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro.

Podemos relacionar el momento de inercia de una partícula puntual en movimiento circular con su momento angular. Recuerda que el vector de posición de un cuerpo que gira en movimiento circular respecto al centro de giro de dicho movimiento y el vector velocidad forman un ángulo de 90º. Entonces, a partir de la expresión del momento angular podemos escribir:

L=r·p·sin90º=r·p=r·m·v=[1]r·m·ω·r=m·r2·ωI=m·r2L=I·ω1 vi=ωi·ri 

Quedando en notación vectorial:

L=I·ω

Donde hemos tenido en cuenta que la velocidad angular se considera un vector axial que es perpendicular al plano de giro y con el sentido que determine la regla de la mano derecha.

Observa la analogía que hay entre la expresión anterior y p=m·v . Como se puede deducir de las expresiones, el papel que juega el momento inercial I en el momento angular L  es análogo al que juega la masa inercial m en el momento lineal p . En los movimientos rectilíneos, cuanto mayor sea la masa de un cuerpo, más difícil es modificar su momento lineal. En los movimientos circulares, cuanto mayor sea el momento inercial I, más resistencia hay a modificar el estado de rotación (el momento angular).

Momento angular y momento de inercia de un sólido rígido

También podemos considerar un sólido rígido en rotación. En este caso, queremos caracterizar la rotación del sólido rígido respecto a su eje de giro. ¿Cómo procederemos? Podemos imaginar un disco plano, en lugar de una masa puntual, y calcular el momento angular Li  de cada partícula respecto a dicho eje de rotación . La suma de cada uno de ellos es, justamente, el momento angular del disco. Empecemos.

Para calcular el momento angular de un sólido rígido procedemos sumando los momentos angulares de cada partícula i que lo integra.

El momento angular de cada partícula genérica i viene dado por:

Li=ri×pi

Teniendo en cuenta que en los movimientos circulares ambos vectores son perpendiculares, podemos desarrollar la expresión del módulo del momento angular de cada partícula tal y como vimos antes:

Li=ri·pi·sin90=ri·pi=ri·mi·vi=[1]ri·mi·ωi·ri=mi·ri2·ωi1 vi=ωi·ri

Ahora bien, la velocidad angular de cada partícula ωi  es la misma, la llamaremos ω , por lo que podemos escribir:

Ltotal=L1+L2++Ln=m1·r12·ω+m2·r22·ω++mn·rn2·ωLtotal=m1·r12+m2·r22++mn·rn2·ωLtotal=i=1nmi·ri2·ω

Como ω  puede considerarse una magnitud vectorial perpendicular al plano de giro y con el sentido que determine la regla de la mano derecha, podemos escribir:

Ltotal=i=nnmi·ri2·ω 

Observa que, el término entre paréntesis se asemeja a la expresión del momento de inercia de una partícula. Decimos que I=i=1nmi·ri2  es el momento de inercia del sólido rígido discreto. A partir de él, podemos definir el momento angular del sólido rígido.

El momento angular de un sólido rígido caracteriza su estado de rotación. Su expresión viene dada por:

L=I·ω

Donde:

  • L : Momento angular del sólido rígido. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el kg·m2·s-1. Nos restringimos al caso de que el eje de referencia sea un eje principal
  • I : Momento de inercia del sólido. Representa un factor de oposición a los cambios en el estado de rotación del cuerpo. Depende de la masa del sólido y de la distribución de dicha masa con respecto al eje de rotación elegido. Aunque en general existen infinitos momentos de inercia posibles, tanto como ejes de rotación se puedan elegir, su expresión, para el caso del sólido rígido discreto, es: I=i=1nmi·ri2 . Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el kg·m2
  • ω : Velocidad angular del sólido rígido. Es un vector axial (se asigna dirección ysentido por convenio). Su dirección es perpendicular al plano de giro y su sentido viene dado por la regla de la mano derecha. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el radián por segundo ( rad/s )

Para llegar a la expresión anterior del momento angular hemos considerado como referencia el eje de giro de un disco. En general, la elección de un eje adecuado tiene importancia para el cálculo del momento angular.

Observa que, tal y como venimos diciendo, las expresiones L=I·ω  y p=m·v  presentan analogías:

  • En el momento angular la velocidad angular ω  está presente. En el momento lineal la velocidad lineal v  está presente
  • En el momento angular el momento inercial I se opone a los cambios en el estado de rotación del cuerpo. En el momento lineal la masa m se opone a los cambios en el estado de traslación

Finalmente, sabemos que para variar el momento lineal hemos de ejercer una fuerza. ¿Adivinarías qué hemos de hacer para variar el momento angular?

Variación del momento angular en el tiempo

Para saber qué hemos de hacer para variar el momento angular de un cuerpo, vamos a derivar su momento angular respecto al tiempo.

dLdt=dr×pdt=1drdt×p+r×dpdt 

Donde en [1] hemos aplicado la definición de derivada de un producto como a×b'=a'×b+a×b' .

Ahora, drdt=v  y v  y p  son paralelos por lo que su producto vectorial es nulo, es decir, drdt×p=0 . Por otro lado dpdt=F  quedando finalmente:

dLdt=r×F=M

El momento angular L  varía cuando sobre él actúa un momento de fuerza M .

dLdt=r×F=M

Observa que cuando hablamos de momento de fuerza nos referimos al momento del vector fuerza respecto al origen o eje considerado. La expresión anterior es válida para partículas puntuales, pero también lo es para sistemas de partículas, en los que sólo el momento de las fuerzas externas al propio sistema puede producir cambios en el momento angular del sistema.

Conservación del momento angular

A partir de la expresión anterior, podemos determinar cuándo se conserva el momento angular, según estemos en una partícula puntual o en un sólido rígido.

Masa puntual

El momento angular se conserva cuando el momento de las fuerzas que actúan sobre ella es nulo

Sólido rígido

El momento angular se conserva cuando el momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sólido es nulo

M=0L=cte 

Observa que existen fundamentalmente dos condiciones bajo las cuales se cumple lo anteior

  1. La fuerza neta F  que actúa sobre la partícula es nula
  2. La fuerza F  es paralela a r . Esto se cumple en el caso de las fuerzas centrales

Ejemplos

Los sistemas planetarios son sistemas de fuerzas centrales. La Tierra experimenta fuerzas atractivas definidas por la ley de la Gravedad y dirigidas hacia el centro de Sol. Su momento angular es constante.

La fuerza de atracción que ejerce el Sol sobre la Tierra es una fuerza central y por tanto paralela al vector de posición. Por eso, el momento de esta fuerza es nulo y el momento angular de la Tierra respecto al Sol permanece constante.

Una patinadora que mientras gira  recoge sus brazos es otro ejemplo interesante. Al recoger sus brazos la distribución de masas respecto al eje varía: toda la masa se concentra más cerca del mismo por lo que el momento de inercia disminuye. En el movimiento de plegar los brazos no son necesarios momentos de fuerza, por lo que el momento angular permanece constante. Observa qué ocurre entonces:

I1·ω1antes=I2·ω2después 

Esto significa que, dado que I2 es menor que I1, la velocidad angular ω2  debe ser mayor que ω1 . Es decir, cuando el patinador pliega sus brazos, su velocidad angular aumenta.

La patinadora puede aumentar su velocidad de giro recogiendo sus brazos: Al situarse las partículas de la misma más próximas al eje de giro, disminuye el momento de inercia I por lo que la velocidad debe aumentar para mantener el momento angular constante

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Momento angular rotacional y orbital de la Tierra

dificultad

Sabiendo que el momento de inercia de una esfera sólida respecto a su eje de rotación viene determinado por la expresión Iesf = 2/5 ·m·r2 , supón que la Tierra es una esfera homogénea de masa 5.972·1024 kg y radio 6371 km y determina:

  • Su momento angular rotacional
  • Su momento angular orbital alrededor de Sol sabiendo que la distancia media entre este y la Tierra es de 1.496·1011 m

Momento de inercia respecto a distintos ejes

dificultad

Determina el momento de inercia del sistema de partículas de la figura respecto a cada uno de los ejes representados teniendo en cuenta que m1 = 4 kg ; m2 = 2 kg ; m3 = 3 kg y m4 = 2 kg.

Conservación del momento angular

dificultad

¿Cuál sería el período de rotación del Sol si colapsara formando una enana blanca de 4000 km de radio, sin variación apreciable de masa?

Datos: Radio solar: 695.800 km ; Período de rotación: 25.4 días ; Momento de inercia de la esfera maciza I=2·m·r25

Momento angular de un satélite

dificultad

Determina el momento angular de un satélite que se encuentra a 1000 km sobre la superficie de la Tierra respecto al centro de la misma sabiendo que su masa es de 1200 kg y describe una órbita completa cada 87 minutos. El radio de la Tierra es de 6.37·106 m.

Momento angular de partícula en traslación

dificultad

Una partícula puntual se encuentra en reposo en la posición r=d·i m  cuando se le imprime una velocidad inicial v0 en el sentido negativo del eje y. En dicho instante, comienza a acelerarse debido a la gravedad terrestre.

  • ¿Cuál es el momento angular con respecto al origen en función del tiempo?
  • Determina el momento de fuerza que actúa sobre la partícula en cualquier instante con respecto al origen

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Momento Angular. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Variación del Momento Angular con el Tiempo

dLdt=M

Momento de inercia

I=m·r2

Momento angular del sólido rígido

L=I·ω

Momento angular de una partícula

L=r×p=r×m·v

Ficha de apartados relacionados

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