Aceleración de sistema de dos partículas dadas sendas fuerzas

Datos

• Primera partícula:
  • m₁ = 2 kg
  • ${\overrightarrow{r}}_1=\left(0,0\right) m$
  • ${\overrightarrow{F}}_1=\left(-12,0\right) N$
• Segunda partícula:
  • m₂ = 4 kg
  • ${\overrightarrow{r}}_2=\left(4,3\right) m$
  • ${\overrightarrow{F}}_2=\left(0,18\right) N$

Resolución

La ecuación fundamental de un sistema de partículas establece que bajo la acción de fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema de partículas, su centro de masas se mueve como si toda la masa de aquel estuviera concentrada en este. Por tanto:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{F}}_{\mathrm{ext}}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2=m_{\mathrm{total}}·{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{CM}}\Rightarrow \\ \Rightarrow {\overrightarrow{a}}_{\mathrm{CM}}=\frac{{\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2}{m_{\mathrm{total}}}=\frac{-12·\overrightarrow{i}+18·\overrightarrow{j}}{4+2}=-2·\overrightarrow{i}+3·\overrightarrow{j} m/s^2 \end{gathered}$$

Por otro lado, para calcular el vector de posición del centro de masas, a partir de la aceleración, integramos dos veces. Recuerda que la aceleración es la derivada segunda del vector de posición respecto al tiempo, por ello, al realizar la operación inversa a la derivada "deshacemos" el proceso. Sin embargo, con la integración se nos presenta el problema de las constantes. En este caso, basta recordar que la velocidad inicial del cuerpo, según el enunciado, es cero. Observa:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{v}}_{\mathrm{CM}}=\int {\overrightarrow{a}}_{\mathrm{CM}}·dt={\overrightarrow{a}}_{\mathrm{CM}}·t+\cancel{{\overrightarrow{v_0}}_{\mathrm{CM}}}\Rightarrow \\ \Rightarrow {\overrightarrow{r}}_{\mathrm{CM}}=\int {\overrightarrow{v}}_{\mathrm{CM}}·dt=\int {\overrightarrow{a}}_{\mathrm{CM}}·t·dt=\frac{1}{2}·{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{CM}}·t^2+{{\overrightarrow{r}}_0}_{\mathrm{CM}} m \end{gathered}$$

Donde ${{\overrightarrow{r}}_0}_{\mathrm{CM}}$ es la posición inicial del centro de masas.