El centro de masas representa el punto que tenemos que estudiar cuando, en lugar de una partícula puntual, tenemos un cuerpo real, formado por varias de ellas. En este apartado estudiaremos:

Adicionalmente, puede que te interese profundizar en el concepto de sólido rígido.

El centro de masas

Cuando un cuerpo se encuentra en movimiento, por ejemplo, al lanzar un lápiz al aire, todas sus partículas se mueven a la vez, aunque con distintas trayectorias. Para caracterizar la traslación del lápiz en su conjunto, sin embargo, nos basta con estudiar qué ocurre en un solo punto del mismo: su centro de masas. Este será el que determine su velocidad, su trayectoria, etc.

El movimiento del centro de masas (punto amarillo) del destornillador es representativo del movimiento de todo el cuerpo. En el caso de la figura, su trayectoria describe una parábola.

El centro de masas representa el punto en el que suponemos que se concentra toda la masa del sistema para su estudio. Es el centro de simetría de distribución de un sistema de partículas.

Recuerda que en dinámica podemos usar el modelo del sólido rígido, frente al de partícula puntual, cuando las dimensiones del cuerpo que estamos estudiando no son despreciables frente a la trayectoria que describe. En este apartado vamos a estudiar las magnitudes cinemáticas y dinámicas referidas al centro de masas de un sólido rígido discreto, es decir, aquel en el que se pueden distinguir las partículas que lo componen.

Posición

Si conocemos la posición de cada partícula del sólido, podemos determinar la de su centro de masas.

La posición del centro de masas de un sólido rígido discreto viene dada por:

rCM=i=1nmi·rimtotal=m1·r1+m2·r2++mn·rnm1+m2++mn

Donde:

  • n : Número de partículas del sistema
  • rCM ,ri: Vector de posición del centro de masas y de cada una de las partículas que componen el sistema respecto al mismo sistema de referencia. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro ( m
  • mtotal , mi : Masa total del cuerpo y de cada partícula respectiva que compone el sistema. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el kilogramo ( kg )

Observa que en un espacio en tres dimensiones podemos escribir:

rCM=xCM·i+yCM·j+zCM·kxCM=i=1nmi·ximtotal ; yCM=i=1nmi·yimtotal ; zCM=i=1nmi·zimtotal

Para pasar por la cuerda con una barra, el equilibrista debe encontrar el punto de equilibrio de la misma, es decir, su centro de masas. 

Velocidad

La velocidad instantánea, o simplemente velocidad, del centro de masas se puede obtener derivando respecto al tiempo la expresión de su posición

La velocidad del centro de masas de un sólido rígido discreto viene dada por:

vCM=drCMdt=i=1nmi·vimtotal

Donde:

  • vCM ;vi : Velocidad instantánea del centro de masas y de cada una de las partículas que componen el sólido rígido discreto. Expresa la variación del vector de posición del centro de masas respecto al tiempo t. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro por segundo ( m/s )
  • rCM : Vector de posición del centro de masas. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro ( m )
  • mtotal , mi : Masa total del sólido y de cada una de las partículas que lo componen. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el kilogramo ( kg

Aceleración

La aceleración instantánea, o simplemente aceleración, del centro de masas se puede obtener derivando respecto al tiempo la expresión de su velocidad

La aceleración del centro de masas de un sólido rígido discreto viene dada por:

aCM=dvCMdt=i=1nmi·aimtotal

Donde:

  • aCM ;ai : Aceleración instantánea del centro de masas y de cada una de las partículas que componen el sólido rígido discreto. Expresa la variación de la velocidad del centro de masas respecto al tiempo t. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro por segundo al cuadrado ( m/s2 )
  • vCM : Velocidad del centro de masas. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro por segundo ( m/s )
  • mtotal , mi : Masa total del sólido y de cada una de las partículas que lo componen. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el kilogramo ( kg

Momento lineal

En el sólido rígido existen dos tipos de fuerzas:

  1. Fuerzas internas de cohesión de las partículas. Hacen que el sólido se mantenga rígido en todo momento
  2. Fuerzas exteriores. De existir, son las responsables de que el cuerpo en su conjunto varíe su estado de reposo o movimiento. Pueden actuar sobre cualquiera de sus partículas y sus efectos se sentirán sobre todo el cuerpo

De acuerdo a la segunda ley de Newton,  la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es proporcional a la variación de su momento lineal. Pues bien, en el caso del sólido rígido discreto, dicho principio se aplica a la resultante de las fuerzas exteriores, pues las fuerzas interiores de cohesión de las partículas se anulan dos a dos, por la tercera ley de Newton.

Las fuerzas internas de cohesión tienen igual  módulo y dirección pero sentido contrario, por lo que se anulan dos a dos.

Bajo la influencia de fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema de partículas, su centro de masas se mueve como si toda la masa de aquel estuviera concentrada en este. Este enunciado se recoge en la ecuación fundamental de la dinámica de traslación de un sistema de partículas:

Fext=mtotal·aCM=dpdt

Donde:

  • Fext : Fuerza total externa presente en el sistema. Es la suma de todas las fuerzas externas aplicadas a cada una de las partículas que componen el sistema de partículas. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Newton ( N )
  • mtotal : Es la masa total del cuerpo. Se puede calcular como la suma de las masas de cada partícula que compone el sólido. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el kilogramo ( kg )
  • aCM : Aceleración del centro de masas. Es representativa del movimiento de traslación de todo el sistema. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro por segundo al cuadrado ( m/s2 )
  • p : Cantidad de movimiento o momento lineal del sistema de partículas. Recuerda que el momento lineal de un sistema de partículas se puede obtener sumando los momentos lineales de cada partícula por separado. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el kilogramo por metro partido segundo ( kg·m/s )

Este teorema reduce el estudio del movimiento de un sistema de partículas al de una sola, concentrada en su centro de masas. Se trata, no obstante, de una descripción parcial, ya que describe el movimiento de traslación del sólido, de su centro de masas, pero no dice nada acerca del movimiento de las partículas respecto de dicho centro, es decir, de la rotación del cuerpo.

Podemos estudiar el efecto que provocan varias fuerzas exteriores en el movimiento de traslación de un sólido rígido aplicando la resultante a su centro de masas.

Por otro lado, podemos relacionar el momento lineal de cada partícula que compone el sistema con el momento lineal del centro de masas.

El momento lineal p del sistema es igual al momento lineal del centro de masas pCM .

Comprobaciónes

Si derivamos la posición del centro de masas respecto al tiempo, para obtener la velocidad del movimiento, nos queda:

vCM=drCMdt=i=1nmi·dridtmtotal=i=1nmi·vimtotalmtotal·vCM=i=1nmi·vipCM=p

Donde debes recordar que el momento lineal de un sistema de partículas p  es la suma de los momentos de las partículas que lo componen.

Si derivamos ahora nuevamente respecto al tiempo, llegamos a la ecuación fundamental de la dinámica de traslación de un sistema de partículas: 

mtotal·vCM=i=1nmi·vimtotal·dvCMdt=i=1nmi·dvidtmtotal·aCM=i=1nmi·ai=Fext=dpdt=dpCMdt

Diferencia con el centro de gravedad

El centro de gravedad de un cuerpo es otro punto que se suele utilizar para estudiar el comportamiento de un sistemas de partículas. En concreto, es el punto al que aplicamos el vector peso del sistema, que es la resultante del vector peso de cada una de las partículas. Para que exista centro de gravedad, debe existir un campo gravitatorio. Sino, sólo existe centro de masas.

En general, el centro de gravedad no coincide con el centro de masas por que el campo gravitatorio no es uniforme. Sin embargo, en la mayoría de los problemas que te encontrarás, puedes suponer el campo gravitatorio constante y por tanto los dos puntos coincidirán.

Conclusión

Cuando las dimensiones del cuerpo estudiado son equiparables a las de la trayectoria que describe no podemos considerar el cuerpo como una partícula puntual para describir completamente su movimiento, sin embargo si que podemos describir su movimiento de traslación a partir del estudio de su centro de masas, ignorando las posibles rotaciones o vibraciones de sus infinitas partículas respecto a él.

Finalmente, una puntualización. En este apartado hemos estudiado cómo determinar distintas magnitudes físicas del centro de masas de un sistema formado por varias partículas distinguibles, es decir, que constituyen un sólido rígido discreto. El cálculo para los sólidos rígidos continuos queda fuera del alcance de este nivel.

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Centro de masas de 4 partículas en un plano

dificultad

Encuentra el centro de masas de las partículas que aparecen en la figura. Se supone que el sistema es rígido y el sistema de referencia se encuentra expresado en metros.

cuatro masas en un sistema de referencia

 

Velocidad y momento lineal del centro de masas

dificultad

Estudiamos dos partículas que se mueven en un plano y determinamos que una de ellas tiene una masa de 2 kg y una velocidad de ( 1 , -2 ) m/s y la otra una masa de 3 kg y una velocidad de ( 3 , 1 ). Determina la velocidad del centro de masas del sistema y su momento lineal. ¿Forman parte estas partículas de un sólido rígido?

Centro de masas de varias partículas en movimiento

dificultad

Tres partículas de masas m1 = 1 kg, m2 = 0.5 kg y m3 = 2 kg se encuentran en movimiento. Sus vectores de posición respectivos son: r1=t2·i-2·t·k m , r2=2·t3·i+2·t·j m , r3=t·j-2·t·k m . Calcula:

  1. La posición del centro de masas en función del tiempo
  2. El momento lineal del sistema  en t = 2 s
  3. La fuerza total que actúa sobre el sistema
  4. La aceleración del centro de masas

Aceleración de sistema de dos partículas dadas sendas fuerzas

dificultad

Las masas de la figura están unidas por medio de una barra rígida de masa despreciable que se encuentran inicialmente en reposo. Entonces actúan las fuerzas de la figura de manera constante. 

Sabiendo que m1 = 2 kg, m2 = 4 kg y los valores de las fuerzas son F1 = 12 N y F2 = 18 N,

  1. Determina la aceleración del centro de masas del sistema
  2. ¿Cual es la ecuación del vector de posición del centro de masas en función del tiempo?

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Centro de Masas. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Aceleración del centro de masas

aCM=dvCMdt=i=1nmi·aimtotal

Ecuación fundamental de la dinámica de traslación de un sistema de partículas

Fext=mtotal·aCM=dpdt

Momento lineal del centro de masas

pCM=mtotal·vCM=p

Posición del centro de masas en un sistema de n partículas

rCM=i=1nmi·rimtotal=m1·r1+m2·r2++mn·rnm1+m2++mn

Velocidad del centro de masas

vCM=drCMdt=i=1nmi·vimtotal

Ficha de apartados relacionados

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