Enunciado

dificultad

Tres partículas de masas m1 = 1 kg, m2 = 0.5 kg y m3 = 2 kg se encuentran en movimiento. Sus vectores de posición respectivos son: r1=t2·i-2·t·k m , r2=2·t3·i+2·t·j m , r3=t·j-2·t·k m . Calcula:

  1. La posición del centro de masas en función del tiempo
  2. El momento lineal del sistema  en t = 2 s
  3. La fuerza total que actúa sobre el sistema
  4. La aceleración del centro de masas

Solución

Datos

  • m1 = 1 kg , r1=t2·i-2·t·k m 
  • m2 = 0.5 kg, r2=2·t3·i+2·t·j m 
  • m3 = 2 kg,  r3=t·j-2·t·k m

Resolución

1.

Aplicando la expresión del vector de posición del centro de masas de un sistema de partículas nos queda:

rCM=i=1nmi·rimtotal=m1·r1+m2·r2+m3·r3m1+m2+m3=1·t2·i-2·t·k+0.5·2·t3·i+2·t·j+2·t·j-2·t·k1+0.5+2==t3+t2·i+3·t·j+-6·t·k3.5 m 

2.

El momento lineal del sistema coincide con el momento lineal del centro de masas, es decir:

p=pC.M=mt·vC.M=mt·drCMdt=3.5·13.5·3·t2+2·t·i+3·j-6·k kg·m/s

Cuyo valor, en t = 2 s, es:

p=3·22+2·2·i+3·j-6·k=16·i+3·j-6·k kg·m/s

3.

Para determinar la fuerza aplicamos la ecuación fundamental de la dinámica de traslación de un sistema de partículas:

F=dpdt=d3·t2+2·t·i+3·j-6·kdt=6·t+2·iN

4.

Finalmente, para determinar la aceleración, utilizamos la relación entre aceleración y fuerza:

F=aCM·mtaCM=Fmt=6·t+23.5·i m/s2

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
Fext=mtotal·aCM=dpdt
pCM=mtotal·vCM=p
rCM=i=1nmi·rimtotal=m1·r1+m2·r2++mn·rnm1+m2++mn
vCM=drCMdt=i=1nmi·vimtotal