Centro de masas de varias partículas en movimiento

Enunciado

dificultad

Tres partículas de masas m₁ = 1 kg, m₂ = 0.5 kg y m₃ = 2 kg se encuentran en movimiento. Sus vectores de posición respectivos son: ${\vec{r}}_{1} = t^{2} \cdot \vec{i} - 2 \cdot t \cdot \vec{k} m, {\vec{r}}_{2} = 2 \cdot t^{3} \cdot \vec{i} + 2 \cdot t \cdot \vec{j} m, {\vec{r}}_{3} = t \cdot \vec{j} - 2 \cdot t \cdot \vec{k} m$ . Calcula:

La posición del centro de masas en función del tiempo
El momento lineal del sistema en t = 2 s
La fuerza total que actúa sobre el sistema
La aceleración del centro de masas

Solución

Datos

m₁ = 1 kg , ${\vec{r}}_{1} = t^{2} \cdot \vec{i} - 2 \cdot t \cdot \vec{k} m$
m₂ = 0.5 kg, ${\vec{r}}_{2} = 2 \cdot t^{3} \cdot \vec{i} + 2 \cdot t \cdot \vec{j} m$
m₃ = 2 kg, ${\vec{r}}_{3} = t \cdot \vec{j} - 2 \cdot t \cdot \vec{k} m$

Resolución

Aplicando la expresión del vector de posición del centro de masas de un sistema de partículas nos queda:

${\vec{r}}_{C M} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} \cdot {\vec{r}}_{i}}{m_{total}} = \frac{m_{1} \cdot {\vec{r}}_{1} + m_{2} \cdot {\vec{r}}_{2} + m_{3} \cdot {\vec{r}}_{3}}{m_{1} + m_{2} + m_{3}} = \frac{1 \cdot (t^{2} \cdot \vec{i} - 2 \cdot t \cdot \vec{k}) + 0.5 \cdot (2 \cdot t^{3} \cdot \vec{i} + 2 \cdot t \cdot \vec{j}) + 2 \cdot (t \cdot \vec{j} - 2 \cdot t \cdot \vec{k})}{1 + 0.5 + 2} = = \frac{(t^{3} + t^{2}) \cdot \vec{i} + (3 \cdot t) \cdot \vec{j} + (- 6 \cdot t) \cdot \vec{k}}{3.5} m$

El momento lineal del sistema coincide con el momento lineal del centro de masas, es decir:

$\vec{p} = {\vec{p}}_{C.M} = m_{t} \cdot v_{C.M} = m_{t} \cdot \frac{d {\vec{r}}_{C M}}{d t} = 3.5 \cdot \frac{1}{3.5} \cdot ((3 \cdot t^{2} + 2 \cdot t) \cdot \vec{i} + (3) \cdot \vec{j} - (6) \cdot \vec{k}) k g \cdot m / s$

Cuyo valor, en t = 2 s, es:

$\vec{p} = (3 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2) \cdot \vec{i} + (3) \cdot \vec{j} - (6) \cdot \vec{k} = 16 \cdot \vec{i} + 3 \cdot \vec{j} - 6 \cdot \vec{k} k g \cdot m / s$

Para determinar la fuerza aplicamos la ecuación fundamental de la dinámica de traslación de un sistema de partículas:

$\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{d t} = \frac{d ((3 \cdot t^{2} + 2 \cdot t) \cdot \vec{i} + (3) \cdot \vec{j} - (6) \cdot \vec{k})}{d t} = (6 \cdot t + 2) \cdot \vec{i} N$

Finalmente, para determinar la aceleración, utilizamos la relación entre aceleración y fuerza:

$\vec{F} = {\vec{a}}_{C M} \cdot m_{t} \Rightarrow {\vec{a}}_{C M} = \frac{\vec{F}}{m_{t}} = \frac{(6 \cdot t + 2)}{3.5} \cdot \vec{i} m / s^{2}$

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas

Apartados relacionados

{\vec{F}}_{ext} = m_{total} \cdot {\vec{a}}_{CM} = \frac{d \vec{p}}{d t}

Centro de Masas

{\vec{p}}_{CM} = m_{total} \cdot {\vec{v}}_{CM} = \vec{p}

Centro de Masas

{\vec{r}}_{C M} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} \cdot {\vec{r}}_{i}}{m_{total}} = \frac{m_{1} \cdot {\vec{r}}_{1} + m_{2} \cdot {\vec{r}}_{2} + \dots + m_{n} \cdot {\vec{r}}_{n}}{m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}}

Centro de Masas

{\vec{v}}_{CM} = \frac{d {\vec{r}}_{CM}}{d t} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} \cdot {\vec{v}}_{i}}{m_{total}}

Centro de Masas

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