Enunciado

dificultad

Tres part√≠culas de masas m1 = 1 kg, m2 = 0.5 kg y m3 = 2 kg se encuentran en movimiento. Sus vectores de posici√≥n respectivos son: r‚Üí1=t2¬∑i‚Üí-2¬∑t¬∑k‚Üí¬†m¬†,¬†r‚Üí2=2¬∑t3¬∑i‚Üí+2¬∑t¬∑j‚Üí¬†m¬†,¬†r‚Üí3=t¬∑j‚Üí-2¬∑t¬∑k‚Üí¬†m . Calcula:

  1. La posición del centro de masas en función del tiempo
  2. El momento lineal del sistema  en t = 2 s
  3. La fuerza total que act√ļa sobre el sistema
  4. La aceleración del centro de masas

Solución

Datos

  • m1 = 1 kg , r‚Üí1=t2¬∑i‚Üí-2¬∑t¬∑k‚Üí¬†m 
  • m2 = 0.5 kg, r‚Üí2=2¬∑t3¬∑i‚Üí+2¬∑t¬∑j‚Üí¬†m 
  • m3 = 2 kg, ¬†r‚Üí3=t¬∑j‚Üí-2¬∑t¬∑k‚Üí¬†m

Resolución

1.

Aplicando la expresión del vector de posición del centro de masas de un sistema de partículas nos queda:

r‚ÜíCM=‚ąĎi=1nmi¬∑r‚Üíimtotal=m1¬∑r‚Üí1+m2¬∑r‚Üí2+m3¬∑r‚Üí3m1+m2+m3=1¬∑t2¬∑i‚Üí-2¬∑t¬∑k‚Üí+0.5¬∑2¬∑t3¬∑i‚Üí+2¬∑t¬∑j‚Üí+2¬∑t¬∑j‚Üí-2¬∑t¬∑k‚Üí1+0.5+2==t3+t2¬∑i‚Üí+3¬∑t¬∑j‚Üí+-6¬∑t¬∑k‚Üí3.5¬†m 

2.

El momento lineal del sistema coincide con el momento lineal del centro de masas, es decir:

p→=p→C.M=mt·vC.M=mt·dr→CMdt=3.5·13.5·3·t2+2·t·i→+3·j→-6·k→ kg·m/s

Cuyo valor, en t = 2 s, es:

p→=3·22+2·2·i→+3·j→-6·k→=16·i→+3·j→-6·k→ kg·m/s

3.

Para determinar la fuerza aplicamos la ecuación fundamental de la dinámica de traslación de un sistema de partículas:

F→=dp→dt=d3·t2+2·t·i→+3·j→-6·k→dt=6·t+2·i→N

4.

Finalmente, para determinar la aceleración, utilizamos la relación entre aceleración y fuerza:

F→=a→CM·mt⇒a→CM=F→mt=6·t+23.5·i→ m/s2

Ficha de fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
Fext=mtotal·aCM=dpdt
pCM=mtotal·vCM=p
rCM=i=1nmi·rimtotal=m1·r1+m2·r2++mn·rnm1+m2++mn
vCM=drCMdt=i=1nmi·vimtotal