Enunciado

dificultad

Calcula el trabajo realizado entre los puntos x1 = 0 m , x2 = 4 m por una fuerza que, en el sentido del movimiento, sigue la expresión F=16-x2N . Utiliza para ello la gráfica de la función y realiza las aproximaciones que consideres oportunas. Supon movimiento rectilíneo.


Solución

En primer lugar comenzamos haciendo un esbozo de la gráfica de la función.

El √°rea bajo la curva coincide con el trabajo realizado por la fuerza. Vamos a aproximar el √°rea limitada entre la curva y el eje x por la suma de las √°reas de 4 rect√°ngulos de 1 metro de base cada uno.¬†A mayor n√ļmero de rect√°ngulos mejor ser√° la aproximaci√≥n pero para el prop√≥sito de nuestro ejercicio nos basta con 4.

Por otro lado, dado que la función es monótona decreciente en el intervalo estudiado, es decir, siempre está decreciendo, podemos hacer una aproximación por exceso y otra por defecto en el tramo completo. En la aproximación por exceso el trabajo obtenido será mayor que el trabajo real pues para obtener la altura de cada rectángulo utilizamos el extremo inferior del intervalo. En la aproximación por defecto el trabajo obtenido será menor que el trabajo real pues para obtener la altura de cada rectángulo utilizamos el extremo superior del intervalo.

La siguiente tabla  resume los cálculos realizados. 

(xinf¬†- xsup) Altura por exceso: ¬†F(xinf) √Ārea por exceso Altura por defecto: ¬†F(xsup) √Ārea por defecto
(0 - 1) F=16-02=4  1 · 4 = 4 F=16-12=15=3.87  1 · 3.87 = 3.87
(1 - 2) F=16-12=15=3.87  1 · 3.87 = 3.87 F=16-22=12=3.46  1 · 3.46 = 3.46
(2 - 3) F=16-22=12=3.46  1 · 3.46 = 3.46 F=16-32=7=2.64   1 · 2.64 = 2.64
(3 - 4) F=16-32=7=2.64  1 · 2.64 = 2.64 F=16-42=0  1 · 0 = 0

Finalmente calculamos el trabajo en cada caso sumando las areas correspondientes:

Trabajo por exceso

Wexceso = 4 + 3.87 + 3.46 + 2.64 = 14.15 J

Trabajo por defecto

Wdefecto = 3.87 + 3.46 + 2.64 + 0 = 10.15 J

Podemos afirmar que el trabajo real se encontrará entre los valores: 10.15 < Wreal < 14.15

No hemos encontrado ninguna fórmula destacable en este ejercicio.