Fuerzas Conservativas

No todas las fuerzas se comportan igual desde el punto de vista energético. El trabajo que realizan sobre los cuerpos puede o no variar dependiendo del camino que siga el cuerpo en su desplazamiento. Este criterio será el que nos sirva para clasificar las fuerzas en conservativas y no conservativas o disipativas.

Definición de Fuerza Conservativa

La definición anterior tiene varias implicaciones:

1. Sólo las fuerzas conservativas dan lugar a la energía potencial. El cálculo del trabajo realizado por fuerzas conservativas se reduce a una simple resta:

   $$W_{{\text{f}}_{\text{cons}}}=-∆E_p$$
2. El trabajo realizado por las fuerzas conservativas a lo largo de un camino cerrado es cero
3. Cuando movemos un cuerpo venciendo una fuerza conservativa que se opone, el trabajo realizado aumenta la energía potencial del cuerpo
4. Las fuerzas conservativas conservan la energía mecánica del sistema (por ejemplo la fuerza gravitatoria)
5. Las fuerzas no conservativas o disipativas disipan la energía mecánica del sistema (por ejemplo la fuerza de rozamiento)

Ejemplo de Trabajo Realizado por Fuerza Conservativa

Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza peso (fuerza gravitacional), que es una fuerza conservativa, en las tres situaciones de la figura, suponiendo que la fricción con el aire y con la rampa es cero. 

Figura a

• Fuerza que actúa: $\overrightarrow{P}=-m·g·\overrightarrow{j}$ 
• Desplazamiento: $∆\overrightarrow{r}=(\cancel{h_f}-h_i)·\overrightarrow{j}=-h·\overrightarrow{j}$

Con los datos anteriores, calculamos el trabajo mediante la expresión:

$$W=\overrightarrow{P}·∆\overrightarrow{r}=-m·g·\overrightarrow{j}·(-h)·\overrightarrow{j}=m·g·h$$ 

Figura b

En este caso hemos de tener presente la nueva orientación del sistema de referencia.

• Fuerza que actúa: $\overrightarrow{P}=m·g·\sin \left(\vartheta \right)·\overrightarrow{i}-m·g·\cos \left(\vartheta \right)·\overrightarrow{j}$ 
• Desplazamiento: $∆\overrightarrow{r}=l·\overrightarrow{i}$

Con los datos anteriores, calculamos el trabajo mediante la expresión:

$$W=\overrightarrow{P}·∆\overrightarrow{r}=(m·g·\sin \left(\vartheta \right)·\overrightarrow{i}-m·g·\cos \left(\vartheta \right)·\overrightarrow{j})·(l·\overrightarrow{i})=m·g·\underset{h}{\underbrace{\sin \left(\vartheta \right)·l}}=m·g·h$$

Figura c

• Fuerza que actúa: $\overrightarrow{P}=-m·g·\overrightarrow{j}$
• Desplazamiento: $∆\overrightarrow{r}=(x_f-x_i)·\overrightarrow{i}+(\cancel{h_f}-h_i)·\overrightarrow{j}=(x_f-x_i)·\overrightarrow{i}+(-h)·\overrightarrow{j}$

Con los datos anteriores, calculamos el trabajo mediante la expresión:

$$W=\overrightarrow{P}·∆\overrightarrow{r}=(-m·g·\overrightarrow{j})·\left[\right(x_f-x_i)·\overrightarrow{i}-h·j]=m·g·h$$

Conclusión

Como vemos, en los tres casos el trabajo realizado por la fuerza gravitacional es el mismo a pesar de que el cuerpo ha descrito trayectorias diferentes. Podemos concluir que la fuerza gravitacional es una fuerza conservativa, al depender el trabajo realizado por la misma únicamente de los puntos inicial y final.

Ejemplo de Trabajo Realizado por Fuerza no Conservativa

Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, que es una fuerza no conservativa o disipativa, en las dos situaciones de la figura. Se trata en ambos de un desplazamiento horizontal y el valor de la fuerza de rozamiento viene dado por $F_r=\mu ·N=\mu ·m·g$ .

Figura a

En este caso vamos del punto A al punto B directamente.

• Fuerza estudiada: ${\overrightarrow{F}}_r=-\mu ·m·g·\overrightarrow{j}$
• Desplazamiento: $∆\overrightarrow{r}=l·\overrightarrow{j}$ 

Con los datos anteriores, calculamos el trabajo mediante la expresión:

$$W={\overrightarrow{F}}_r·∆\overrightarrow{r}=(-\mu ·m·g·\overrightarrow{j})·l·\overrightarrow{j}=-\mu ·m·g·l$$ 

Figura b

En este caso vamos del punto A al B pasando por el C. Dado que la distancia de cada lado es la misma que en el caso de la figura a, el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento también será igual en cada tramo. Por tanto:

$$W_{A\to B}=W_{A\to C}+W_{C\to B}=-\mu ·m·g·l-\mu ·m·g·l=-2·\mu ·m·g·l$$ 

Conclusión

Como vemos, en cada uno de los casos el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es distinto. Podemos concluir que la fuerza de rozamiento no es conservativa sino disipativa, al depender el trabajo realizado por la misma de la trayectoria seguida por el cuerpo.

Fuerzas Centrales

Una parte importante de las fuerzas conservativas reciben el nombre de fuerzas centrales. Estas fuerzas se caracterizan porque:

• De manera independiente a la trayectoria que describa un cuerpo la dirección de su vector siempre apunta a un mismo punto.
• Su módulo depende de la distancia entre dicho punto y el cuerpo.

Ejemplos importantes de este tipo de fuerzas son la fuerza gravitatoria de las leyes de Newton, la fuerza elástica de la ley de Hooke o la fuerza électrica de la ley de Coulomb.

Comprobación

A continuación vamos a comprobar que cualquier fuerza central es una fuerza conservativa. Para ello, vamos a tener en cuenta que cualquier movimiento entre dos puntos cualesquiera se puede descomponer en un conjunto de movimientos radiales y circulares. Partiendo de este hecho vamos a suponer que un cuerpo se mueve desde un punto A a otro B bajo la acción de una fuerza central $\overrightarrow{F}$ siguiendo tres trayectorias diferentes, tal y como se muestra en la figura adjunta.

En cualquier desplazamiento que se realice de forma circular el trabajo realizado por $\overrightarrow{F}$ es nulo (W = 0). ¿Por qué? Por que los vectores fuerza y desplazamiento en cada uno de esos tramos son perpendiculares y el producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero. De esta forma, el trabajo realizado por $\overrightarrow{F}$ para desplazar el cuerpo desde A hasta B depende solo de los tramos radiales y por tanto, no depende del camino seguido.

Teniendo en cuenta este último hecho podemos concluir sin temor a equivocarnos que cualquier fuerza central $\overrightarrow{F}$ es una fuerza conservativa.