Enunciado
Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
Solución
Consideraciones previas
Antes de resolver ecuaciones trigonométricas de este ejercicio te recomendamos que visites el apartado enlazado para consultar las estrategias habituales de resolución.
Resolución
1.-
Vemos que sólo hay una razón trigonométrica, con un único argumento (α). Además en la ecuación aparecen tres sumando: un termino independiente, la razón al cuadrado y la razón nprmal. Se trata de la candidata perfecta para hacer un cambio de variable. Observa:
Se trata ahora de resolver la ecuación:
En primer lugar, la segunda de las soluciones nos lleva a una incongruencia cos(α)=-2, puesto que el coseno oscila entre -1 y 1.
Descartada esta opción, nos queda:
Sustituyendo en la ecuación original vemos que se satisface.
2.-
En este caso, no debes confundir la expresión anterior con sin2(α)+cos2(α)=1, que se cumple para calquier α. Podemos proceder despejando el coseno y elevando al cuadrado buscando así dejar toda la ecuación en función de una única razón (el seno). Observa:
Una cuestión de notación:
Ahora podemos aplicar la identidad fundamental de la trigonometría para dejarlo todo en función del seno:
Agrupamos y resolvemos con un cambio de variable:
Sacamos factor común para resolver con facilidad:
Por otro lado...
Sustituyndo las 3 soluciones anteriores en la ecuación original, nos damos cuenta que α=180 no cumple la ecuación original, por lo que tenemos que eliminarla del conjunto de soluciones.
3.-
En este caso las unidades angulares son radianes. Podríamos resolver de manera inmediata esta ecuación si conseguimos expresar su miembro derecho como un coseno. De acuerdo a lo estudiado en el apartado de razones de 30º, 45º y 60º, el coseno cuyo valor es raíz de tres entre dos es 30º, que expresado en radianes nos queda .
Coseno en ángulos complementarios y que se diferencian en π rad
Como puedes ver, el coseno de un ángulo α y de su suplementario (π/6) se relacionan según cos(π-α)=-cos(α). Por otro lado, el coseno de un ángulo (π/6) y de otro (α') con el que se diferencia π radianes se relacionan según cos(π+α')=-cos(α). Por tanto los ángulos buscados son:
- α=π-π/6=5π/6
- α'=π+π/6=7π/6
En definitiva, tenemos , con lo que podemos reescribir la ecuación trigonométrica original según:
Siendo cualquiera de ellas una solución válida, como podemos comprobar sustituyendo en la ecuación original.
4.-
En primer lugar, ten presente que aunque el ángulo incógnita sea β en lugar de π, los procedimientos son los mismos, nada cambia. Dicho esto, para resolver la ecuación trataremos de convertir la suma en un producto...
Podemos resolver cada uno de los factores y nos queda (simplificando el argumento previamente por comodidad):
En esta primera ecuación ambas soluciones son válidas. Si vamos a la segunda ecuación, tenemos:
También son válidas. Podemos expresar las 3 soluciones distintas de la siguiente manera: