Razones Trigonométricas de los Ángulos de 30º, 45º y 60º

A los ángulos de 30º, 45º y 60º (ó sus equivalentes en radianes π/6 rad, π/4 rad y π/3 rad) se les conoce como ángulos notables. Se llaman así porque aparecen muy a menudo en nuestra vida cotidiana, y resulta de gran utilidad aprender de memoria los valores de sus razones trigonométricas. De hecho, es posible calcular el valor de las razones de otros ángulos a partir de estas. En este apartado vamos a estudiar:

¿Preparado para triangularizar tu mente?

Recuerda que también puedes obtener el valor de las razones que vamos a estudiar mediante una calculadora. Simplemente introduce el ángulo deseado, en grados o radianes, y pulsa la tecla correspondiente tecla seno calculadora, tecla coseno calculadora ó tecla tangente calculadora.

Cómo deducir razones de los ángulos de 30º y 60º

Si cogemos un triángulo equilatero ABC, que como recordarás tiene todos sus lados (l) y sus ángulos iguales (60º ó π/3 rad), y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triángulos rectángulos. 

Un triángulo equilatero se puede dividir en dos triángulos equiláteros,cada uno de ellos tendrá un ángulo de 30º, 60º y 90º

Descomposición de un triángulo equilatero

Al dividir por su altura un triángulo equilátero ABC como el de la figura obtendremos un triángulo rectángulo en el que los vértices A y B tendrán 30º (ó π/6 rad) y 60º (ó π/3 rad) respectivamente. 

Si conocemos el valor de los lados l, podemos calcular el valor de la altura por medio del teorema de Pitágoras:

l2=h2+l22;h=l2-l22=34·l2=32·l

A partir de esta figura y aplicando la definición de seno, coseno y tangente de cualquier ángulo agudo podemos obtener las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º (o sus equivalentes en radianes).

Razones trigonométricas de los ángulos de 60º

Razones Razones inversas
sin 60º=hl=cos 30º=32 cosec 60º=lh= sec 30º = 233
cos 60º=l2l=sin 30º=12 sec 60º=ll2=cosec 30º= 2
tg 60º=hl2=cotg 30º=3 cotg 60º=l232·l=tg 30º=33

Razones trigonométricas de los ángulos de 30º

Razones Razones inversas
sin 30º=l2l=cos 60º=12 cosec 30º=ll2=2
cos 30º=hl=sin 60º=32 sec 30º=lh=233
tg 30º=l2h=cotg 60º=13=33 cotg 30º=hl2=3

Cómo deducir razones de los ángulos de 45º

Para determinar las razones trigonométricas de un ángulo de 45º (o su equivalente π/4 rad) tomaremos un cuadrado de lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triángulos isósceles. Recuerda que un triángulo isósceles tiene dos ángulos de 45º y uno de 90º.

Un cuadrado se puede dividir en dos triángulos isósceles

Descomposición de un cuadrado

Al dividir un cuadrado de lado l por su diagonal obtenemos dos triángulos isósceles cuya hipotenusa se puede obtener por medio del teorema de Pitágoras.

h=l2+l2=l2

Razones trigonométricas de los ángulos de 45º

Si aplicamos las definiciones de las distintas razones trigonométricas sobre el anterior triángulo isósceles obtenemos que:

Razones Razones inversas
sin 45º=lh=12=22 cosec 45º=hl=2
cos 45º=lh=12=22 sec 45º=2
tg 45º=ll=1 cotg 45º=ll=1

Razones trigonométricas de ángulos notables

Además de las razones ya vistas, existen otros ángulos cuyas razones son igualmente importantes. Se trata de los ángulos de 90º (ó π/2 rad), 180º (ó π rad) y 270º (ó 3π/2 rad). Profundizaremos sobre estos valores cuando estudiemos las razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Finalmente recuerda que las razones de 0º (0 rad) coinciden con las de 360º (ó 2π rad).

  30º 45º 60º 90º 180º 270º
sen 0 12 22 32 1 0 1
cos 1 32 22 12 0 1 0
tg 0 33 1 3 0
cosec 2 22 23 1 1
sec 1 23 22 2 1
cotg 33 1 13 0 0

Si observas la anterior tabla con atención puedes darte cuenta que para cualquier ángulo agudo se cumplen las siguientes ecuaciones:

sin α = cos90º-α

cos α = sin90º-α

tg α = cotg90º-α

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Autor artículo
Sobre el autor
José L. Fernández es ingeniero de telecomunicaciones, profesor y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo libre a escribir artículos para Fisicalab y a ayudar a Link a salvar Hyrule.

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