Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º

Si cogemos un triángulo equilatero ABC, que como recordarás tiene todos sus lados (l) y sus ángulos iguales (60º), y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triángulos rectángulos. 

Un triángulo equilatero se puede dividir en dos triángulos equiláteros,cada uno de ellos tendrá un ángulo de 30º, 60º y 90º

Descomposición de un triángulo equilatero
Al dividir por su altura un triángulo equilátero ABC como el de la figura obtendremos un triángulo rectángulo en el que los vértices A y B tendrán 30º y 60º respectivamente. 

Si conocemos el valor de los lados l, podemos calcular el valor de la altura por medio del teorema de pitágoras:

l2=h2+l22;h=l2-l22=34·l2=32·l

A partir de esta figura y aplicando la definición de seno, coseno y tangente de cualquier ángulo agudo podemos obtener las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º

Razones trigonométricas de los ángulos de 60º

Razones Razones inversas
sin 60º=hl=cos 30º=32 cosec 60º=lh= sec 30º = 233
cos 60º=l2l=sin 30º=12 sec 60º=ll2=cosec 30º= 2
tg 60º=hl2=cotg 30º=3 cotg 60º=l232·l=tg 30º=33

Razones trigonométricas de los ángulos de 30º

Razones Razones inversas
sin 30º=l2l=cos 60º=12 cosec 30º=ll2=2
cos 30º=hl=sin 60º=32 sec 30º=lh=233
tg 30º=l2h=cotg 60º=13=33 cotg 30º=hl2=3

Razones trigonométricas de los ángulos de 45º

Para determinar las razones trigonométricas de un ángulo de 45º tomaremos un cuadrado de lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triángulos isosceles. Recuerda que un triángulo isósceles tiene dos ángulos de 45º y uno de 90º.

Descomposición de un cuadrado
Al dividir un cuadrado de lado l por su diagonal obtenemos dos triángulos isósceles cuya hipotenusa se puede obtener por medio del teorema de pitágoras.

h=l2+l2=l2

Razones trigonométricas de los ángulos de 45º

Si aplicamos las definiciones de las distintas razones trigonométricas sobre el anterior triángulo isósceles obtenemos que:

Razones Razones inversas
sin 45º=lh=12=22 cosec 45º=hl=2
cos 45º=lh=12=22 sec 45º=2
tg 45º=ll=1 cotg 45º=ll=1

Razones trigonométricas de ángulos notables

  30º 45º 60º 90º 180º 270º
sen 0 12 22 32 1 0 1
cos 1 32 22 12 0 1 0
tg 0 33 1 3 0
cosec 2 22 23 1 1
sec 1 23 22 2 1
cotg 33 1 13 0 0

Si observas la anterior tabla con atención puedes darte cuenta que para cualquier ángulo agudo se cumplen las siguientes ecuaciones:

sin α = cos90º-α

cos α = sin90º-α

tg α = cotg90º-α

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Calcular a partir de las razones de 30º, 45º y 60º

dificultad

Conociendo las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

a) sen 1470º
b) cos 405º
c) tan 13π/3

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