Identidades Trigonométricas

Existen una serie de igualdades o fórmulas en las que intervienen razones trigonométricas que son válidas para todos los ángulos. Dichas igualdades reciben el nombre de identidades trigonométricas. En este apartado vamos a estudia las identidades trigonométricas:

Fundamentales
De la suma de dos ángulos
De la resta de dos ángulos
Del ángulo doble
Del ángulo mitad
Las identidades trigonométricas para transformar sumas y restas de ángulos en productos (o viceversa)

¡Mucho cuidado! Cuando trabajes con razones de ángulos, en general, debes tener presente que, por ejemplo:

$\sin (α \pm β) \neq \sin (α) \pm \sin (β)$

Así pues, sin(65º)≠sin(30º)+sin(35º). Esto se cumple también para el resto de razones (coseno, tangente...) y para el resto de operaciones (resta, producto...)

¿Preparado para encontrar tu identidad?

Identidades trigonométricas fundamentales

Identidades Fundamentales
$\cos^{2} α + {sen}^{2} α = 1$
${sec}^{2} α = 1 + {tg}^{2} α$
${cosec}^{2} α = 1 + {cotg}^{2} α$

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Razones	Razones inversas
$\sin (α + β) = \sin α \cdot \cos β + \sin β \cdot \cos α$	$cosec (α + β) = \frac{1}{\sin α \cdot \cos β + \sin β \cdot \cos α}$
$\cos (α + β) = \cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β$	$sec (α + β) = \frac{1}{\cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β}$
$tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β}$	$cotg (α + β) = \frac{1 - tg α \cdot tg β}{tg α + tg β}$

Ejemplo

Determina el seno, coseno y tangente de 105º sin utilizar la calculadora.

Ver solución

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Ten presente que puedes obtener las siguientes fórmulas a partir de las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, teniendo presente que:

$\begin{matrix} \sin (- a) = - \sin (a) \\ \cos (- a) = \cos (a) \\ \tan (a) = \frac{\sin (a)}{\cos (a)} \\ \csc (a) = \frac{1}{\sin (a)} \\ \sec (a) = \frac{1}{\cos (a)} \\ \cot (a) = \frac{1}{\tan (a)} \end{matrix}$

Razones	Razones inversas
$\sin (α - β) = \sin α \cdot \cos β - \cos α \cdot \sin β$	$sec (α - β) = \frac{1}{\sin α \cdot \cos β - \cos α \cdot \sin β}$
$\cos (α - β) = \cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β$	$sec (α - β) = \frac{1}{\cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β}$
$tg (α - β) = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α \cdot tg β}$	$cotg (α - β) = \frac{1 + tg α \cdot tg β}{tg α - tg β}$

Ejemplo

Determina el seno, coseno y tangente de 15º sin utilizar la calculadora.

Ver solución

Razones trigonométricas del ángulo doble

Razones	Razones inversas
$\sin 2 α = 2 \cdot \sin α \cdot \cos α$	$cosec 2 α = \frac{1}{2 \cdot \sin α \cdot \cos α}$
$\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α$	$sec 2 α = \frac{1}{\cos^{2} α - \sin^{2} α}$
$tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α}$	$c o t g 2 α = \frac{1 - {tg}^{2} α}{2 tg α}$

Ejemplo

a) Calcula cosec 120º sin utilizar la calculadora.

Ver solución

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Razones	Razones inversas
$\sin (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos β}{2}}$	$cosec (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{2}{1 - \cos β}}$
$\cos (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos β}{2}}$	$sec (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{2}{1 + \cos β}}$
$tg (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos β}{1 + \cos β}}$	$cotg (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos β}{1 - \cos β}}$

Ejemplo

a) Calcula cotg 22º 30' sin utilizar la calculadora.

Ver solución

Transformación de sumas o diferencias en productos

Transformación de sumas o restas de senos en productos

+/- > ·
$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cdot \cos \frac{A - B}{2}$
$\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cdot \sin \frac{A - B}{2}$

Transformación de sumas o restas de cosenos en productos

+/- > ·
$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cdot \cos \frac{A - B}{2}$
$\cos A - \cos B = - 2 \sin \frac{A + B}{2} \cdot \sin \frac{A - B}{2}$

Ejemplo

Calcula cos 75º + cos 15º sin utilizar la calculadora.

Ver solución

Transformación de productos en sumas

· > +/-
$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A + B) + \sin (A - B)]$
$\cos A \cdot \sin B = \frac{1}{2} [\sin (A + B) - \sin (A - B)]$
$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A + B) + \cos (A - B)]$
$\sin A \cdot \sin B = - \frac{1}{2} [\cos (A + B) - \cos (A - B)]$

De las dos últimas igualdades, si consideramos que A=B, podemos llegar a las siguientes relaciones del cuadrado del coseno o del seno de un ángulo con el coseno de su ángulo doble:

$\cos^{2} (A) = \frac{1 + \cos (2 A)}{2}$

$\sin^{2} (A) = \frac{1 - \cos (2 A)}{2}$

Ejemplo

Calcula cos 45º · sin 15º sin utilizar la calculadora.

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Sobre el autor

José L. Fernández

José L. Fernández es ingeniero de telecomunicaciones, profesor y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo libre a escribir artículos para Fisicalab y a ayudar a Link a salvar Hyrule.

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