Identidades trigonométricas

Existen una serie de igualdades en las que intervienen razones trigonométricas que son válidas para todos los ángulos. Dichas igualdades reciben el nombre de identidades trigonométricas.

Identidades trigonométricas fundamentales

Identidades Fundamentales
$\cos^{2} α + {sen}^{2} α = 1$
${sec}^{2} α = 1 + {tg}^{2} α$
${cosec}^{2} α = 1 + {cotg}^{2} α$

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Razones	Razones inversas
$\sin (α + β) = \sin α \cdot \cos β + \sin β \cdot \cos α$	$cosec (α + β) = \frac{1}{\sin α \cdot \cos β + \sin β \cdot \cos α}$
$\cos (α + β) = \cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β$	$sec (α + β) = \frac{1}{\cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β}$
$tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β}$	$cotg (α + β) = \frac{1 - tg α \cdot tg β}{tg α + tg β}$

Ejemplo

Determina el seno, coseno y tangente de 105º sin utilizar la calculadora.

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Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Razones	Razones inversas
$\sin (α - β) = \sin α \cdot \cos β - \cos α \cdot \sin β$	$sec (α - β) = \frac{1}{\sin α \cdot \cos β - \cos α \cdot \sin β}$
$\cos (α - β) = \cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β$	$sec (α - β) = \frac{1}{\cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β}$
$tg (α - β) = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α \cdot tg β}$	$cotg (α - β) = \frac{1 + tg α \cdot tg β}{tg α - tg β}$

Ejemplo

Determina el seno, coseno y tangente de 15º sin utilizar la calculadora.

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Razones trigonométricas del ángulo doble

Razones	Razones inversas
$\sin 2 α = 2 \cdot \sin α \cdot \cos α$	$cosec 2 α = \frac{1}{2 \cdot \sin α \cdot \cos α}$
$\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α$	$sec 2 α = \frac{1}{\cos^{2} α - \sin^{2} α}$
$tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α}$	$c o t g 2 α = \frac{1 - {tg}^{2} α}{2 tg α}$

Ejemplo

a) Calcula cosec 120º sin utilizar la calculadora.

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Razones trigonométricas del ángulo mitad

Razones	Razones inversas
$\sin (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos β}{2}}$	$cosec (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{2}{1 + \cos β}}$
$\cos (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos β}{2}}$	$sec (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{2}{1 - \cos β}}$
$tg (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos β}{1 + \cos β}}$	$cotg (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos β}{1 - \cos β}}$

Ejemplo

a) Calcula cotg 22º 30' sin utilizar la calculadora.

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Transformación de sumas o diferencias en productos

Transformación de sumas o restas de senos en productos

+/- > ·
$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cdot \cos \frac{A - B}{2}$
$\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cdot \sin \frac{A - B}{2}$

Transformación de sumas o restas de cosenos en productos

+/- > ·
$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cdot \cos \frac{A - B}{2}$
$\cos A - \cos B = - 2 \sin \frac{A + B}{2} \cdot \sin \frac{A - B}{2}$

Ejemplo

Calcula cos 75º + cos 15º sin utilizar la calculadora.

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Transformación de productos en sumas

· > +/-
$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A + B) + \sin (A - B)]$
$\cos A \cdot \sin B = \frac{1}{2} [\sin (A + B) - \sin (A - B)]$
$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A + B) + \cos (A - B)]$
$\sin A \cdot \sin B = - \frac{1}{2} [\cos (A + B) - \cos (A - B)]$