Existen una serie de igualdades o fórmulas en las que intervienen razones trigonométricas que son válidas para todos los ángulos. Dichas igualdades reciben el nombre de identidades trigonométricas. En este apartado vamos a estudia las identidades trigonométricas:

¡Mucho cuidado! Cuando trabajes con razones de ángulos, en general, debes tener presente que, por ejemplo:

sinα±βsinα±sinβ

Así pues, sin(65º)≠sin(30º)+sin(35º). Esto se cumple también para el resto de razones (coseno, tangente...) y para el resto de operaciones (resta, producto...)

¿Preparado para encontrar tu identidad?

Identidades trigonométricas fundamentales

Identidades Fundamentales
cos2α + sen2α = 1
sec2 α = 1 + tg2 α
cosec2 α = 1 + cotg2 α

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Razones Razones inversas
sinα+β=sin α · cos β + sin β · cos α cosecα+β=1sin α · cos β + sin β · cos α
cosα+β=cos α · cos β - sin α · sin β secα+β=1cos α · cos β - sin α · sin β
tgα+β=tg α + tg β1 - tg α · tg β cotgα+β=1 - tg α · tg βtg α + tg β

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Ten presente que puedes obtener las siguientes fórmulas a partir de las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, teniendo presente que:

sin-a=-sinacos-a=cosatana=sinacosacsca=1sinaseca=1cosacota=1tana

Razones Razones inversas
sinα-β=sin α·cos β - cos α·sin β secα-β=1sin α·cos β - cos α·sin β
cosα-β=cos α·cos β + sin α·sin β secα-β=1cos α·cos β + sin α·sin β
tgα-β=tg α - tg β1 + tg α · tg β cotgα-β=1 + tg α · tg βtg α - tg β

Razones trigonométricas del ángulo doble

Razones Razones inversas
sin 2α=2·sin α·cos α cosec 2α=12·sin α·cos α
cos 2α=cos2 α - sin2 α sec 2α=1cos2 α - sin2 α
tg 2α=2 tg α1-tg2 α cotg 2α=1-tg2 α2 tg α

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Razones Razones inversas
sinβ2=±1-cos β2 cosecβ2=±21-cos β
cosβ2=±1+cos β2 secβ2=±21+cos β
tgβ2=±1-cos β1+cos β cotgβ2=±1+cos β1-cos β

Transformación de sumas o diferencias en productos

Transformación de sumas o restas de senos en productos

+/- > ·
sin A+sin B = 2 sin A+B2·cos A-B2
sin A-sin B = 2 cos A+B2·sin A-B2

Transformación de sumas o restas de cosenos en productos

+/- > ·
cos A+cos B = 2 cos A+B2·cos A-B2
cos A-cos B = -2 sin A+B2·sin A-B2

Transformación de productos en sumas

· > +/-
sin A·cos B =12sin A+B+sinA-B
cos A·sin B =12sin A+B-sinA-B
cos A·cos B = 12cosA+B+cosA-B
sin A·sin B = -12cosA+B-cosA-B

De las dos últimas igualdades, si consideramos que A=B, podemos llegar a las siguientes relaciones del cuadrado del coseno o del seno de un ángulo con el coseno de su ángulo doble:

cos2A=1+cos2A2

sin2A=1-cos2A2

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Autor artículo
Sobre el autor
José L. Fernández es ingeniero de telecomunicaciones, profesor y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo libre a escribir artículos para Fisicalab y a ayudar a Link a salvar Hyrule.

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