Identidades Trigonométricas

Existen una serie de igualdades o fórmulas en las que intervienen razones trigonométricas que son válidas para todos los ángulos. Dichas igualdades reciben el nombre de identidades trigonométricas. En este apartado vamos a estudia las identidades trigonométricas:

Fundamentales
De la suma de dos ángulos
De la resta de dos ángulos
Del ángulo doble
Del ángulo mitad
Las identidades trigonométricas para transformar sumas y restas de ángulos en productos (o viceversa)

¡Mucho cuidado! Cuando trabajes con razones de ángulos, en general, debes tener presente que, por ejemplo:

$\sin (α \pm β) \neq \sin (α) \pm \sin (β)$

Así pues, sin(65º)≠sin(30º)+sin(35º). Esto se cumple también para el resto de razones (coseno, tangente...) y para el resto de operaciones (resta, producto...)

¿Preparado para encontrar tu identidad?

Identidades trigonométricas fundamentales

Identidades Fundamentales
$\cos^{2} α + {sen}^{2} α = 1$
${sec}^{2} α = 1 + {tg}^{2} α$
${cosec}^{2} α = 1 + {cotg}^{2} α$

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Razones	Razones inversas
$\sin (α + β) = \sin α \cdot \cos β + \sin β \cdot \cos α$	$cosec (α + β) = \frac{1}{\sin α \cdot \cos β + \sin β \cdot \cos α}$
$\cos (α + β) = \cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β$	$sec (α + β) = \frac{1}{\cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β}$
$tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β}$	$cotg (α + β) = \frac{1 - tg α \cdot tg β}{tg α + tg β}$

Ejemplo

Determina el seno, coseno y tangente de 105º sin utilizar la calculadora.

Ver solución

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Ten presente que puedes obtener las siguientes fórmulas a partir de las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, teniendo presente que:

$\begin{matrix} \sin (- a) = - \sin (a) \\ \cos (- a) = \cos (a) \\ \tan (a) = \frac{\sin (a)}{\cos (a)} \\ \csc (a) = \frac{1}{\sin (a)} \\ \sec (a) = \frac{1}{\cos (a)} \\ \cot (a) = \frac{1}{\tan (a)} \end{matrix}$

Razones	Razones inversas
$\sin (α - β) = \sin α \cdot \cos β - \cos α \cdot \sin β$	$sec (α - β) = \frac{1}{\sin α \cdot \cos β - \cos α \cdot \sin β}$
$\cos (α - β) = \cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β$	$sec (α - β) = \frac{1}{\cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β}$
$tg (α - β) = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α \cdot tg β}$	$cotg (α - β) = \frac{1 + tg α \cdot tg β}{tg α - tg β}$

Ejemplo

Determina el seno, coseno y tangente de 15º sin utilizar la calculadora.

Ver solución

Razones trigonométricas del ángulo doble

Razones	Razones inversas
$\sin 2 α = 2 \cdot \sin α \cdot \cos α$	$cosec 2 α = \frac{1}{2 \cdot \sin α \cdot \cos α}$
$\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α$	$sec 2 α = \frac{1}{\cos^{2} α - \sin^{2} α}$
$tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α}$	$c o t g 2 α = \frac{1 - {tg}^{2} α}{2 tg α}$

Ejemplo

a) Calcula cosec 120º sin utilizar la calculadora.

Ver solución

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Razones	Razones inversas
$\sin (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos β}{2}}$	$cosec (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{2}{1 - \cos β}}$
$\cos (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos β}{2}}$	$sec (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{2}{1 + \cos β}}$
$tg (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos β}{1 + \cos β}}$	$cotg (\frac{β}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos β}{1 - \cos β}}$

Ejemplo

a) Calcula cotg 22º 30' sin utilizar la calculadora.

Ver solución

Transformación de sumas o diferencias en productos

Transformación de sumas o restas de senos en productos

+/- > ·
$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cdot \cos \frac{A - B}{2}$
$\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cdot \sin \frac{A - B}{2}$

Transformación de sumas o restas de cosenos en productos

+/- > ·
$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cdot \cos \frac{A - B}{2}$
$\cos A - \cos B = - 2 \sin \frac{A + B}{2} \cdot \sin \frac{A - B}{2}$

Ejemplo

Calcula cos 75º + cos 15º sin utilizar la calculadora.

Ver solución

Transformación de productos en sumas

· > +/-
$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A + B) + \sin (A - B)]$
$\cos A \cdot \sin B = \frac{1}{2} [\sin (A + B) - \sin (A - B)]$
$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A + B) + \cos (A - B)]$
$\sin A \cdot \sin B = - \frac{1}{2} [\cos (A + B) - \cos (A - B)]$

Ejemplo

Calcula cos 45º · sin 15º sin utilizar la calculadora.

Ver solución

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Sobre el autor

José L. Fernández

José L. Fernández es ingeniero de telecomunicaciones, profesor y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo libre a escribir artículos para Fisicalab y a ayudar a Link a salvar Hyrule.

Apartados relacionados

El apartado no se encuentra disponible en otros niveles educativos.

Identidades Trigonométricas

Compartir en...

Síguenos en...

Identidades trigonométricas fundamentales

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Razones trigonométricas del ángulo doble

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Transformación de sumas o diferencias en productos

Transformación de sumas o restas de senos en productos

Transformación de sumas o restas de cosenos en productos

Transformación de productos en sumas

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

José L. Fernández

Apartados relacionados

Navegación