Razones Trigonométricas de Ángulos que se Diferencian 180º o π rad

En la figura aparecen dos ángulos que se diferencian 180º (o π rad). Son α y β.

Razones trigonométricas de ángulos que se diferencian 180º

Ángulos que difieren 180º ( π rad )

Siempre que dos ángulos α y  difieran 180º se cumple que β - α = c o lo que es lo mismo β = 180º + π. Por tanto, podemos escribir:

β=π+αβ=180º+α

En la figura se muestran dos ángulos α y β que difieren 180º, el primero esta determinado por el segmento OP y el segundo por el segmento OP' . Si observas bien puedes darte cuenta de que el ángulo β al atravesar el semieje X negativo crea un triángulo OQ'P' idéntico al triángulo OQP creado por el ángulo α, por lo que para estudiar las razones trigonométricas del ángulo β podemos utilizar las del ángulo α. 

Así podemos observar que, tal y como estudiamos en el apartado de las razones trigonométricas de cualquier ángulo, la longitud del segmento OQ (cos α) es igual a la longitud de OQ' (cos β) y la longitud de PQ (sin α) es idéntica a la de P'Q'  (sin β) con la diferencia en ambos casos de que al encontrarse el segmento OP' en el tercer cuadrante el valor de la abcisa y de la ordenada es negativa. Por tanto:

Razones Razones inversas
sinπ+α=-sin α
sin180º+α=-sin α
cscπ+α=-cscα
csc180º+α=-cscα
cosπ+α=-cos α
cos180º+α=-cos α
secπ+α=-secα
sec180º+α=-secα
tanπ+α=tanα
tan180º+α=tanα
cotπ+α=cotα
cot180º+α=cotα
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Datos
α = 20º | β = 70º
P(0.71,0.71) | sin 45º = 0.71 | cos 45º = 0.71tan 45º = 1
cosec 45º = 1.41 | sec 45º = 1.41 | cotan 45º = 1
P(0.71,0.71) | sin 45º = 0.71 | cos 45º = 0.71 | tan 45º = 1
cosec 45º = 1.41 | sec 45º = 1.41 | cotan 45º = 1
Razones trigonométricas de ángulos que se diferencian 180º (π rad)

La figura muestra una circunferencia goniométrica en la que se representa un ángulo α y otra ángulo β adelantado 180º (π  rad) con respecto a α ( β = 180º + α). Cambia el valor de α y por tanto de β y observa que independientemente del ángulo que escojas siempre se cumple que el seno de β  corresponde con el negativo del seno de α y el coseno de β con el negativo del coseno de α , es decir sin β  = - sin α y cos β = - cos α. 

Recuerda que el sin α coincide con el valor de la coordenada y y el cos α con el valor de la coordenada x del punto P. De igual forma, el sin β coincide con el valor de la coordenada y y el cos β con el valor de la coordenada x del punto P'. De una manera mas visual, el seno de un ángulo es la longitud de la proyección del segmento que le corresponde con el eje y (azul oscuro) y su coseno la proyección sobre el eje y (azul claro), aunque considerando signos. Dichos signos serán positivos si se proyectan sobre semiejes positivos o negativos en caso contrario.

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Autor artículo
Sobre el autor
José L. Fernández es ingeniero de telecomunicaciones, profesor y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo libre a escribir artículos para Fisicalab y a ayudar a Link a salvar Hyrule.

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