El péndulo simple se puede considerar un caso de movimiento armónico simple (m.a.s.), cuando se cumplen ciertas condiciones que veremos en este apartado. Aprenderemos:

También puedes:

Concepto de péndulo simple

Un péndulo simple es una masa puntual m suspendida verticalmente mediante una cuerda o hilo inextensible de masa despreciable y longitud l

Nos interesa conocer si podemos aplicar los conceptos propios del m.a.s. al estudio del péndulo. Recuerda que una partícula o sistema tiene movimiento armónico simple (m.a.s) cuando oscila bajo la acción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia respecto a la posición de equilibrio.

¿Cómo se comportan los péndulos?

Cuando el péndulo se encuentra en reposo, en vertical, permanece en equilibrio ya que la fuerza peso es contrarrestada por la tensión en la cuerda.

Fuerzas que intervienen en un péndulo simple

Cuando se separa de la posición de equilibrio la tensión contrarresta solo a la componente normal del peso, siendo la componente tangencial del peso la fuerza resultante. Esta fuerza es la responsable de que aparezca una aceleraciónF = · a ) que trata de devolver al péndulo a su posición de equilibrio.

Pn+T=0; Pt=-m·g·sinα

Componentes tangencial y normal de una fuerza

Es posible que no recuerdes con claridad qué es la componente tangencial y normal de una fuerza, también llamadas componentes intrínsecas. Para definirlas utilizamos un sistema de referencia intrínseco en cada punto de la trayectoria, tal y como se puede ver en la figura.

Sistema de referencia intrínseco en péndulo

Es importante que Observes que el sistema de referencia se establece para cada punto de la trayectoria: Uno de los ejes es tangente a la trayectoria en ese punto. El otro es perpendicular al primero, es decir, normal a la trayectoria en ese punto.

Una vez establecidos los ejes en cada punto de la trayectoria podemos descomponer las fuerzas en estos ejes:

  • Componente tangencial: Es la proyección de la fuerza sobre el eje tangente
  • Componente normal: Es la proyección de la fuerza sobre el eje normal

El péndulo simple como oscilador armónico

Un péndulo simple se comporta como un oscilador armónico cuando oscila con amplitudes pequeñas. La fuerza restauradora es la componente tangencial del peso, de valor Pt,  y la aceleración del péndulo es proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario, con expresión:

a=-gl·x

Donde:

  • a: Aceleración del péndulo. Depende de la distancia a la posición de equilibrio x. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro por segundo al cuadrado ( m/s2 )
  • g: Aceleración de la gravedad. Su valor es 9.8 m/s2
  • l: Longitud del péndulo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro ( m )
  • x: Separación x de la vertical de equilibrio del péndulo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro ( m )

Comprobación

Un oscilador armónico no es más que una partícula que se mueve según un m.a.s. La aceleración que aparece en el péndulo cuando se separa de su posición de equilibrio hace que el péndulo vibre u oscile en torno a su posición de equilibrio. Dichas vibraciones siguen el patrón de un movimiento armónico simple si el ángulo de oscilación es pequeño (no más de 15º o 20º). Esto implica que:

  1. sinαα 
  2. La longitud de la trayectoria curva s y el desplazamiento x en el eje horizontal tienden a igualarse
  3. La aceleración normal es despreciable
  4. Se puede considerar que la trayectoria del móvil es horizontal
  5. La posición viene dada por la separación x a la vértical de equilibrio

Con lo anterior nos queda:

Pt=-m·g·sinα-m·g·α=s=l·α-m·g·sl-m·g·xl=m·a 

Con lo que podemos afirmar que la aceleración es proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario, siendo

a=-gl·x

Periodo del péndulo simple

El periodo del péndulo simple, para oscilaciones de poca amplitud, viene determinado por la longitud del mismo y la gravedad. No influye la masa del cuerpo que oscila ni la amplitud de la oscilación.

El periodo del péndulo simple es el tiempo que tarda el péndulo en volver a pasar por un punto en el mismo sentido. También se define como el tiempo que tarda en hacerse una oscilación completa. Su valor viene determinado por:

T=2·π·lg

Donde:

  • T: Periodo del péndulo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el segundo ( s )
  • l: Longitud del péndulo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro ( m )
  • g: Gravedad. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro por segundo al cuadrado ( m/s2 )

¿Cómo determinar el valor de la gravedad con un péndulo?

La expresión anterior nos permite calcular el periodo conocidas la longitud del péndulo y el valor de la gravedad. Siguiendo el proceso inverso podemos determinar el valor de la gravedad. Conocida la longitud l, medimos el tiempo que tarda el péndulo en realizar una oscilación completa y aplicamos la siguiente expresión, despejada de la expresión del periodo anterior:

g=2·πT2·l m/s2 

Para ver un desarrollo de la obtención de la anterior expresión, visita el apartado de dinámica del movimiento armónico simple.

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Amplitud oscilaciones y fuerzas en péndulo a partir de ángulo

dificultad

Determina cual debe ser la amplitud de las oscilaciones de un péndulo de 70 cm sabiendo que el máximo ángulo que separa el hilo de la vertical es de 6º. ¿Qué fuerzas actúan sobre el cuerpo en esa situación suponiendo una masa de 80 g? 

Determinar la gravedad con un péndulo

dificultad

¿Cual será la gravedad en un planeta en el que un péndulo de longitud 10 cm tarda 0.634 segundos en realizar una oscilación completa?

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Movimiento Armónico Simple en Péndulos. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Aceleración de Péndulo Simple

a=-gl·x

Periodo del péndulo simple

T=2·π·lg

Ficha de apartados relacionados

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