Cuando una partícula se mueve según un movimiento armónico simple (m.a.s) aparecen las mismas magnitudes cinemáticas que en cualquier tipo de movimiento, es decir, la posición, la velocidad y la aceleración. En este apartado veremos:

Adicionalmente, puede que te interese conocer:

No olvides que dichas magnitudes son, en general, magnitudes vectoriales. Sin embargo, en este apartado, dado que el m.a.s. se desarrolla en una sola dimensión, podremos utilizar el convenio de signos en movimientos rectilíneos habitual

Posición

La posición de una partícula que sigue un movimiento armónico simple ( m.a.s.), también denominada elongación, viene determinada por la distancia x a la posición de equilibrio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m). Se trata de una función sinusoidal (seno o coseno), que depende del tiempo x = f(t).

Ecuación de posición

  x  Seno x  Coseno
Con ω x=A·sinω·t+φ0 x=A·cosω·t+φ'0
Con f  x=A·sin2·π·f·t+φ0 x=A·cos2·π·f·t+φ'0
Con T  x=A·sin2·πT·t+φ0 x=A·cos2·πT·t+φ'0

Donde:

  • A: Amplitud máxima del movimiento. Representa la distancia máxima a la posición de equilibrio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m)
  • f: Frecuencia del movimiento. Es el número de oscilaciones o vibraciones que se producen en un segundo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Hertzio (Hz). 1 Hz = 1 oscilación / segundo = 1 s-1.
  • T: Periodo del movimiento. El tiempo que tarda en cumplirse una oscilación completa. Es la inversa de la frecuencia T = 1/f . Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el segundo (s).
  • ω : Frecuencia angular o pulsación. Representa el número de periodos comprendidos en 2·π segundos. Su unidad de medida en el sistema internacional es el radián por segundo ( rad/s ). Se encuentra relacionada con la frecuencia y el periodo del movimiento según ω=2·πT=2·π·f  
  • φ0  y φ'0 : Fase inicial. Se trata del ángulo que representa el estado inicial de vibración, es decir, la posición x del cuerpo en el instante t = 0. Su valor depende de si has elegido un seno o un coseno para representar el movimiento. φ'0=φ0-π/2 Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el radián (rad) .

Para cualquier instante t se cumple que x(t)=x(t+T) .

Gráfica de posición x - t

Gráfica posición - tiempo en m.a.s.

Velocidad

La velocidad instantánea determina la variación de posición que tiene el cuerpo en cada instante de tiempo t. Se define como la derivada de la posición respecto al tiempo.

v=dxdt 

Para obtener la expresión de la velocidad hemos de tener en cuenta que dependerá de si expresamos la posición como seno o como coseno:

  • v=ddt(A·sinω·t+φ0)=A·ω·cosω·t+φ0
  • v=ddt(A·cosω·t+φ'0)=-A·ω·sinω·t+φ'0

Ecuación de velocidad

 

Velocidad 
(cuando x → Seno )

Velocidad
(cuando x
 
Coseno )
Con ω v=A·ω·cosω·t+φ0 v=-A·ω·sinω·t+φ'0
Con f  v=A·2·π·f·cos2·π·f·t+φ0 v=-A·2·π·f·sin2·π·f·t+φ'0
Con T  v=A·2·πT·cos2·πT·t+φ0 v=-A·2·πT·sin2·πT·t+φ'0

Para cualquier instante t se cumple que v(t)=v(t+T) .

Gráfica de velocidad v - t

Gráfica velocidad - tiempo en m.a.s.

La velocidad es máxima cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio y mínima en los extremos de la trayectoria del movimiento (+A y -A).

Relación posición - velocidad (x - v)

Podemos relacionar la posición y la velocidad en un movimiento armónico simple a través de la expresión:

v=±ω·A2-x2

Comprobación

La idea principal es poder hacer uso de la relación trigonométrica: sin2α+cos2α=1 

x·ω=A·ω·sinω·t+φ0v=A·ω·cosω·t+φ0x·ω2+v2=A·ω2·(sin2ω·t+φ0+cos2ω·t+φ01)

x·ω2+v2=A·ω2x=±ω·A2-x2

Aceleración

La aceleración instantánea determina la variación de velocidad que tiene el cuerpo en cada instante de tiempo t. Se define como la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

a=dvdt 

Para obtener la expresión de la aceleración hemos de tener en cuenta que dependerá de si expresamos la posición como seno o como coseno:

  • a=d2dt2(A·sinω·t+φ0)=ddt(A·ω·cosω·t+φ0)=-A·ω2·sinω·t+φ0
  • a=d2dt2(A·cosω·t+φ'0)=ddt(-A·ω·sinω·t+φ'0)=-A·ω2·cosω·t+φ'0

Ecuación de aceleración

  Aceleración
(cuando x
 → Seno )
Aceleración
(cuando x
 
Coseno )
Con ω a=-A·ω2·sinω·t+φ0 a=-A·ω2·cosω·t+φ'0
Con f  a=-A·(2·π·f)2·sin2·π·f·t+φ0 a=-A·(2·π·f)2·cos2·π·f·t+φ'0
Con T  a=-A·(2·πT)2·sin2·πT·t+φ0 a=-A·(2·πT)2·cos2·πT·t+φ'0

Para cualquier instante t se cumple que a(t)=a(t+T) .

Gráfica de aceleración a - t

Gráfica aceleración - tiempo en m.a.s.

La aceleración es máxima en los extremos de la trayectoria (+A y -A) y mínima cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio.

Relación posición - aceleración (x - a)

Podemos relacionar la posición y la aceleración en un movimiento armónico simple a través de la expresión:

a=-ω2·x

Comprobación

Para deducir la fórmula que relaciona posición y aceleración, simplemente tenemos que percatarnos que podemos obtener la expresión de la aceleración a=-A·ω2·sinω·t+φ0  multiplicando la expresión de la posición x=A·sinω·t+φ0  por un factor de -ω2 .

Gráficas del m.a.s.

En el siguiente Experimenta y aprende puedes ver las gráficas del movimiento armónico simple. Observa la relación que guardan entre sí las magnitudes cinemáticas y con los parámetros que definen el comportamiento del m.a.s.

Experimenta y Aprende
Gráficas del movimiento armónico simple

En las figuras inferiores encontrarás las gráficas de posición-tiempo, velocidad-tiempo y aceleración-tiempo de un movimiento armónico simple (m.a.s.).

Cambia los valores de amplitud, periodo y fase inicial de dicho movimiento y comprueba como cambian sus gráficas.

Observa que:

  • Todas ellas no se anulan ni tienen sus valores máximos en el mismo instante de tiempo, por tanto se dice que están desfasadas.
  • La velocidad se encuentra adelantada un 1/4 del periodo sobre la posición y la aceleración 1/2 de dicho periodo.


Datos

 
 

 
 

 
 

 
 
 

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Verdadero o falso en cinemática del m.a.s.

dificultad

Un cuerpo se mueve según un movimiento armónico simple según la gráfica de la figura. 

A la vista de ella, di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones

  1. Cada dos segundos el cuerpo está en el mismo estado vibracional
  2. El periodo del movimiento vale 4 segundos
  3. El movimiento tiene una amplitud de 6 m
  4. La frecuencia del movimiento es de 0.25 Hz
  5. La ecuación del movimiento es x=3·sinπ2·t cm

M.A.S: Aceleración y velocidad a partir de elongación

dificultad

Sabiendo que un movimiento armónico simple tiene por ecuación:

x=0.5·sin0.35·π·t+π/4 m 

Determina la ecuación y la gráfica de la velocidad y de la aceleración. 

Cálculo de magnitudes cinemáticas en movmiento armónico simple

dificultad

Un cuerpo está unido a un muelle horizontal. Comienza a oscilar desde uno de los extremos situados a 5 cm de su posición de quilibrio, con un periodo de 0.4 s. Determinar:

  1. La velocidad al pasar por la posición de equilibrio
  2. La velocidad y la aceleración al pasar por x = 3 cm
  3. La aceleración en los extremos de la trayectoria
  4. La aceleración en x = -1 cm

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Ecuaciones y Gráficas del Movimiento Armónico Simple. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Elongación de Cuerpo con Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) -Seno

x=A·sinω·t+φ0

Elongación de Cuerpo con Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) -Coseno

x=A·cosω·t+φ0

Velocidad de Cuerpo con Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) -Coseno

v=A·ω·cosω·t+φ0

Velocidad de Cuerpo con Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) -Seno

v=-A·ω·sinω·t+φ0

Aceleración de Cuerpo con Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) -Seno

a=-A·ω2·sinω·t+φ0

Aceleración de Cuerpo con Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) -Coseno

a=-A·ω2·cosω·t+φ'0

Relación Velocidad Posición (v - x) en un Movimiento Armónico Simple

v=±ω·A2-x2

Relación Aceleración Posición (a - x) en un Movimiento Armónico Simple

a=-ω2·x

Ficha de apartados relacionados

El apartado no se encuentra disponible en otros niveles educativos.