La fuerza total que actúa sobre una partícula en un movimiento armónico simple es proporcional a la distancia a la posición de equilibrio. En este apartado vamos a ahondar en el estudio de las fuerzas presentes en el m.a.s. Para ello estudiaremos:

Adicionalmente, puede que te interese profundizar en:

No olvides que la fuerza es, en general, una magnitud vectorial. Sin embargo, en este apartado, dado que el m.a.s. se desarrolla en una sola dimensión, podremos utilizar el convenio de signos en movimientos rectilíneos habitual.  

Comportamiento dinámico del m.a.s.

Podemos estudiar el movimiento armónico simple (m.a.s.), desde un punto de vista dinámico, es decir, atendiendo a las fuerzas presentes en el movimiento. Recuerda que un oscilador armónico es cualquier cuerpo que se mueve según un m.a.s. Cuando estudiamos la cinemática del movimiento armónico simple, llegamos a la siguiente relación entre aceleración y posición:

a=-ω2·x

El comportamiento dinámico de un oscilador armónico se obtiene sustituyendo la condición de la aceleración del m.a.s. en el principio fundamental de la dinámica.

Desarrollando la idea anterior, nos queda:

F=m·a=m·(-ω2·x)=-m·ω2·x=-k·x

La fuerza que actúa en un movimiento armónico simple es directamente proporcional y de signo contrario al desplazamiento del cuerpo respecto a la posición de equilibrio:

F=-k·x

Donde:

  • F : Fuerza necesaria para producir el m.a.s. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Newton)
  • x : Desplazamiento de la partícula respecto a la posición de equilibrio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro ( m )
  • : Constante recuperadora del m.a.s. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Newton por metro ( N/m ). Su valor viene dado por:

    k=m·ω2

    Donde:

    • m: Masa del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el kilogramo ( kg )
    • ω: Frecuencia angular o pulsación. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el radián por segundo ( rad/s )

La fórmula anterior simplemente nos indica que la fuerza presente en un movimiento armónico simple, que actúa en calidad de fuerza restauradora, trata de devolver al cuerpo a su posición de equilibrio desde el punto en el que se encuentre.

Fuerza restauradora en m.a.s. de muelle horizontal

Caracterización dinámica de un oscilador armónico

Podemos caracterizar los osciladores armónicos a partir de los valores de su constante k y su masa m, dando lugar a los valores característicos de frecuencia angular ω, periodo T y frecuencia f.

Frecuencia angular ω

ω=km rad/s

Periodo T

T=2·πω=2·π·mk s

Frecuencia f

f=ω2·π=12·π·km Hz

Fuerzas presentes en los muelles

Si observas la expresión de la fuerza que actúa en un m.a.s. F=-k·x  ,te darás cuenta que es la ley de Hooke

El m.a.s. en muelles ocurre por el simple hecho de encontrarse estos sometidos a una fuerza proporcional a la distancia a la posición de equilibrio y de sentido contrario. La constante de proporcionalidad, k , coincide con la constante elástica de la ley de Hooke. Esto nos permite conocer el valor de la fuerza restauradora para un determinado desplazamiento respecto a la posición de equilibrio a partir de la frecuencia angular del movimiento y la masa del cuerpo que oscila.

Fuerza elástica en muelle que se mueve según m.a.s.

Fuerzas presentes en los péndulos

El m.a.s. en péndulos se produce cuando la amplitud es pequeña. La fuerza resultante sobre el péndulo, la componente tangencial del peso Pt , es proporcional en este caso al desplazamiento horizontal de la vertical de equilibrio. 

El periodo del péndulo simple es el tiempo que tarda el péndulo en volver a pasar por un punto en el mismo sentido. También se define como el tiempo que tarda en hacerse una oscilación completa. Su valor viene determinado por:

T=2·π·lg

Donde:

  • T: Periodo del péndulo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el segundo ( s )
  • l: Longitud del péndulo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro ( m )
  • g: Gravedad. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro por segundo al cuadrado ( m/s2 )

Comprobación

A continuación comprobamos la validez de la expresión anterior, teniendo en cuenta que, para oscilaciones pequeñas, la componente tangencial del peso Pt  se puede considerar aproximadamente horizontal y por ello la llamaremos Px, quedando:

Fuerzas presentes en un péndulo

F=PtPx=-m·g·sinα=-m·g·xlF=-k·xk=m·gl

Sustituyendo en la expresión de la pulsación nos queda, obtenemos la ecuación buscada:

ω=km=m·glm=glω=2·πTT=2·π·lg

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Longitud de péndulo conocida frecuencia en m.a.s.

dificultad

Determina la longitud que debe tener un péndulo para que oscile con una frecuencia de 2 Hz

Calcular masa determinada la frecuencia en m.a.s.

dificultad

¿Qué masa debes unir a un muelle de constante k = 37 N/m para que la frecuencia de oscilación del sistema sea de 1 Hz?¿Y para que sea de 4 Hz?

Constante y fuerza elástica a partir de periodo

dificultad

Sabiendo que un cuerpo de masa 3 kg oscila unido a un muelle a razón de 15 oscilaciones cada segundo, calcula:

  1. La constante elástica del muelle
  2. La valor de la fuerza cuando la elongación es de 4 cm

Sobre dinámica en el movimiento armónico simple de un muelle

dificultad

Un cuerpo de 300 g se encuentra unido al techo a través de un muelle. El peso del cuerpo hace que el muelle se deforme 6 cm. Determina:

  1. Cuál será la frecuencia de oscilación del cuerpo cuando se desplaza de su posición de equilibrio
  2. Qué ocurriría al variar la masa del cuerpo a 500 g.
  3. Determina para este último caso la frecuencia y el periodo

Fuerza elástica en m.a.s. a partir de gráfica

dificultad

La gráfica de la figura corresponde a un cuerpo de 150 g de masa que realiza un movimiento armónico simple (m.a.s.).

Se pide calcular:

  1. La velocidad inicial del cuerpo
  2. La aceleración en los instantes t = 2 s y t = 6 s 
  3. El valor y sentido que tendrá la fuerza que actúa sobre el cuerpo en los instantes t = 0.5 s y t = 1.5 s

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Fuerzas en el Movimiento Armónico Simple. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Fuerza Necesaria para Producir M.A.S.

F=-k·x

Valor de la Constante del Oscilador Armónico

k=m·ω2

Pulsación del M.A.S. en Función de Constante k y Masa

ω=km

Periodo del M.A.S en Función de Constante k y Masa

T=2·π·mk

Frecuencia del M.A.S en Función de Constante k y Masa

f=12·π·km

Periodo del péndulo simple

T=2·π·lg

Ficha de apartados relacionados

El apartado no se encuentra disponible en otros niveles educativos.