[PAU 2014] Campo eléctrico generado por dos cargas puntuales

Datos

K = 9 · 10⁹ N·m² / C
q_A = 2 µC = 2 · 10^-6 C
q_B = -2 µC = -2 · 10^-6 C

A (-1,2)
B (2,2)
Z (0,0)

${\overrightarrow{E}}_z$???

Resolución

Para resolver este ejercicio vamos a sumar la intensidad del campo eléctrico (principio de superposición) creado en Z por cada una de las cargas q_A y q_B. Recuerda que el campo eléctrico creado por una carga puntual se obtiene por medio de la siguiente expresión:

$$\overrightarrow{E}=K·\frac{q}{r^2}·{\overrightarrow{u}}_r$$

No olvides que el vector $\overrightarrow{u_r}$ se trata de un vector unitario de otro vector $\overrightarrow{r}$ que básicamente une la carga con la ubicación del sitio donde queremos determinar la intensidad del campo creado por dicha carga. Por esta razón, en primer lugar vamos a calcular estos vectores para cada carga ${\overrightarrow{r}}_{\mathrm{A}},{\overrightarrow{r}}_{\mathrm{B}}$.

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{r}}_A=0-(-1)·\overrightarrow{i}+0-2·\overrightarrow{j}= 1 · \overrightarrow{i} - 2 · \overrightarrow{j} m \\ {\overrightarrow{r}}_B=0-2·\overrightarrow{i}+0-2·\overrightarrow{j}= -2 · \overrightarrow{i} - 2 · \overrightarrow{j} m \end{gathered}$$

y sus módulos:

$$\begin{gathered} r_A=\sqrt{{\left(1\right)}^2+{\left(2\right)}^2}=\sqrt{5} m \\ {r}_B=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{8} m \end{gathered}$$

Para terminar calculando sus vectores unitarios:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{u}}_{rA}=\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{5}$}\right. · \overrightarrow{i} - \raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{5}$}\right. · \overrightarrow{j} m \\ {\overrightarrow{u}}_{rB}=-\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{8}$}\right. · \overrightarrow{i} - \raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{8}$}\right. · \overrightarrow{j} m \end{gathered}$$

Ahora vamos a calcular el campo que genera cada carga en Z de forma aislada:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{E}}_A = K · \frac{q_A}{r_A}· {\overrightarrow{u}}_{rA} \Rightarrow \\ {\overrightarrow{E}}_A =9 · {10}^9 · \frac{2 · {10}^{-6}}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2}·\left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{5}$}\right. · \overrightarrow{i} - \raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{5}$}\right. · \overrightarrow{j}\right) N/C \Rightarrow \\ {\overrightarrow{E}}_A =3.6 ·{10}^3·\left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{5}$}\right. · \overrightarrow{i} - \raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{5}$}\right. · \overrightarrow{j}\right) N/C \Rightarrow \\ \underline{{\overrightarrow{E}}_A =1.61·{10}^3·\overrightarrow{i} - 3.22 ·{10}^3 \overrightarrow{j} N/C} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{E}}_B = K · \frac{q_B}{r_B}· {\overrightarrow{u}}_{rB} \Rightarrow \\ {\overrightarrow{E}}_B =9 · {10}^9 · \frac{-2 · {10}^{-6}}{{\left(\sqrt{8}\right)}^2}·\left(\raisebox{1ex}{$-2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{8}$}\right. · \overrightarrow{i} - \raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{8}$}\right. · \overrightarrow{j}\right) N/C \Rightarrow \\ {\overrightarrow{E}}_B =-2.25 ·{10}^3·\left(\raisebox{1ex}{$-2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{8}$}\right. · \overrightarrow{i} - \raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{8}$}\right. · \overrightarrow{j}\right) N/C \Rightarrow \\ \underline{{\overrightarrow{E}}_B =1.59·{10}^3·\overrightarrow{i} + 1.59 ·{10}^3 \overrightarrow{j} N/C} \end{gathered}$$

Por último sumaremos ambas intensidades para determinar la intensidad total creada por ambas cargas de forma conjunta:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{E}}_Z={\overrightarrow{E}}_A+{\overrightarrow{E}}_B \Rightarrow \\ \boxed{{\overrightarrow{E}}_Z=3.2·{10}^3·\overrightarrow{i} - 1.63 ·{10}^3 \overrightarrow{j} N/C} \end{gathered}$$