Flujo eléctrico a través de un cubo

Datos

l = 0.3 m
$\overrightarrow{E}=(-5·x·\overrightarrow{i}+3·z·\overrightarrow{k}) N/C$

Consideraciones previas

Para identificar el flujo que atraviesa cada una de las caras, las numeraremos de la siguiente forma:

De forma general todas las superficies viene dada por un vector S cuyo módulo es el área de dicha superficie y su dirección y sentido perpendicular al plano. De esta forma, teniendo en cuenta que el area de cada una de ellas es lado por lado (l²), obtenemos que el vector S de cada una de ellas es:

$$\begin{array}{l}{S}_1=l^2·\overrightarrow{i}\\ S_2=-l^2·\overrightarrow{i}\\ S_3=l^2·\overrightarrow{k}\\ S_4=-l^2·\overrightarrow{k}\\ S_5=l^2·\overrightarrow{j}\\ S_6=-l^2·\overrightarrow{j}\end{array}$$

Resolución

El flujo total (Φ) que atraviesa el cubo será la suma del flujo que atraviesa cada una de las caras (Φ₁,Φ₂, ...), o lo que es lo mismo:

$$\Phi ={\Phi }_1+{\Phi }_2+{\Phi }_3+{\Phi }_4+{\Phi }_5+{\Phi }_6$$

Adicionalmente nos centraremos en la definición del flujo eléctrico de un campo uniforme sobre una superficie plana el cual establece que:

$$\Phi =\overrightarrow{E}·\overrightarrow{S}=E·S·\cos (\overrightarrow{E},\overrightarrow{S})$$

Por esta razón vamos a calcular el flujo para cada una de las caras:

Flujo S₁ (Φ₁)

$$\begin{gathered} {\Phi }_1=\overrightarrow{E}·{\overrightarrow{S}}_1=(-5·x·\overrightarrow{i} + 3·z·\overrightarrow{k})·(l^2·\overrightarrow{i}) = -5·x·\overrightarrow{i}·l^2·\overrightarrow{i}+3·z·\overrightarrow{k}·l^2·\overrightarrow{i} \Rightarrow \\ {\Phi }_1=-5·x·l^2·i·i·\cos (\overrightarrow{i},\overrightarrow{i})+3·z·l^2·k·k·\cancel{\cos (\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}) \Rightarrow } \\ {\Phi }_1=-5·x·l^2 \end{gathered}$$

Durante toda la superficie S₁, x vale exactamente el lado del cubo, es decir x = l, por tanto:

$$\begin{gathered} {\Phi }_1=-5·l·l^2 = -5·l^3 \Rightarrow \\ \boxed{{\Phi }_1=-5·(0.3{)}^3 = -13.5·{10}^{-2} N·m^2/C} \end{gathered}$$

Flujo S₂ (Φ₂)

$$\begin{gathered} {\Phi }_2=\overrightarrow{E}·{\overrightarrow{S}}_2=(-5·x·\overrightarrow{i} + 3·z·\overrightarrow{k})·(-l^2·\overrightarrow{i}) = 5·x·\overrightarrow{i}·l^2·\overrightarrow{i}-3·z·\overrightarrow{k}·l^2·\overrightarrow{i} \Rightarrow \\ {\Phi }_2=5·x·l^2·i·i·\cos (\overrightarrow{i},\overrightarrow{i})-3·z·l^2·i·k·\cancel{\cos (\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}) \Rightarrow } \\ {\Phi }_2=5·x·l^2 \end{gathered}$$

Durante toda la superficie S₂, x vale exactamente 0, es decir x = 0, por tanto:

$$\begin{gathered} {\Phi }_2=5·0·l^2 = 0 \Rightarrow \\ \boxed{{\Phi }_2=0 N·m^2/C} \end{gathered}$$

Flujo S₃ (Φ₃)

$$\begin{gathered} {\Phi }_3=\overrightarrow{E}·{\overrightarrow{S}}_3=(-5·x·\overrightarrow{i} + 3·z·\overrightarrow{k})·(l^2·\overrightarrow{k}) = -5·x·\overrightarrow{i}·l^2·\overrightarrow{k}+3·z·\overrightarrow{k}·l^2·\overrightarrow{k} \Rightarrow \\ {\Phi }_3=-5·x·l^2·i·k·\cancel{\cos (\overrightarrow{i},\overrightarrow{k})}+3·z·l^2·k·k·\cos (\overrightarrow{k},\overrightarrow{k}) \Rightarrow \\ {\Phi }_3=3·z·l^2 \end{gathered}$$

Durante toda la superficie S₃, z vale exactamente l, es decir z = l, por tanto:

$$\begin{gathered} {\Phi }_3=3·l·l^2 = 3·0.3^3\Rightarrow \\ \boxed{{\Phi }_3=8.1·{10}^{-2} N·m^2/C} \end{gathered}$$

Flujo S₄ (Φ₄)

$$\begin{gathered} {\Phi }_4=\overrightarrow{E}·{\overrightarrow{S}}_4=(-5·x·\overrightarrow{i} + 3·z·\overrightarrow{k})·(-l^2·\overrightarrow{k}) = 5·x·\overrightarrow{i}·l^2·\overrightarrow{k}-3·z·\overrightarrow{k}·l^2·\overrightarrow{k} \Rightarrow \\ {\Phi }_4=5·x·l^2·i·k·\cancel{\cos (\overrightarrow{i},\overrightarrow{k})}-3·z·l^2·k·k·\cos (\overrightarrow{k},\overrightarrow{k}) \Rightarrow \\ {\Phi }_4=-3·z·l^2 \end{gathered}$$

Durante toda la superficie S₄, z vale exactamente 0, es decir z = 0, por tanto:

$$\begin{gathered} {\Phi }_4=-3·0·l^2 \Rightarrow \\ \boxed{{\Phi }_4=0 N·m^2/C} \end{gathered}$$

Flujo S₅ (Φ₅)

$$\begin{gathered} {\Phi }_5=\overrightarrow{E}·{\overrightarrow{S}}_5=(-5·x·\overrightarrow{i} + 3·z·\overrightarrow{k})·(l^2·\overrightarrow{j}) = 5·x·\overrightarrow{i}·l^2·\overrightarrow{j}-3·z·\overrightarrow{k}·l^2·\overrightarrow{j} \Rightarrow \\ {\Phi }_5=5·x·l^2·i·j·\cos (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})-3·z·l^2·\cancel{i·j·\cos (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) \Rightarrow } \\ \boxed{{\Phi }_5=0 N·m^2/C} \end{gathered}$$

Flujo S₆ (Φ₆)

$$\begin{gathered} {\Phi }_6=\overrightarrow{E}·{\overrightarrow{S}}_5=(-5·x·\overrightarrow{i} + 3·z·\overrightarrow{k})·(-l^2·\overrightarrow{j}) = -5·x·\overrightarrow{i}·l^2·\overrightarrow{j}+3·z·\overrightarrow{k}·l^2·\overrightarrow{j} \Rightarrow \\ {\Phi }_6=-5·x·l^2·i·j\cancel{·\cos (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})}+3·z·l^2·\cancel{i·j·\cos (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) \Rightarrow } \\ \boxed{{\Phi }_6=0 N·m^2/C} \end{gathered}$$

a) Flujo TOTAL

$$\begin{gathered} \Phi =8.1·{10}^{-2} - 13.5·{10}^{-2} \Rightarrow \\ \boxed{\Phi = -5.4·{10}^{-2} N·m^2/C} \end{gathered}$$

b)

Para determinar la carga eléctrica en su interior utilizaremos el teorema de Gauss, que establece que:

$$\begin{gathered} \Phi =\frac{Q}{{\epsilon }_0} \Rightarrow \\ Q=\Phi ·{\epsilon }_0 = -5.4·{10}^{-2} ·8.85·{10}^{-12} \Rightarrow \\ \boxed{Q= -4.78·{10}^{-13 }C} \end{gathered}$$