Enunciado

dificultad

Un cubo de lado 0.3 m está colocado con un vértice en el origen de coordenadas como se muestra en la figura. Se encuentra en el seno de un campo eléctrico no uniforme, que viene dado por E=(-5·x·i+3·z·k) N/C:

a) Halla el flujo eléctrico a través de sus seis caras.
b) Determina la carga eléctrica total en su interior.


Solución

Datos

l = 0.3 m
E=(-5·x·i+3·z·k) N/C

Consideraciones previas

Para identificar el flujo que atraviesa cada una de las caras, las numeraremos de la siguiente forma:

De forma general todas las superficies viene dada por un vector S cuyo módulo es el área de dicha superficie y su dirección y sentido perpendicular al plano. De esta forma, teniendo en cuenta que el area de cada una de ellas es lado por lado (l2), obtenemos que el vector S de cada una de ellas es:

S1=l2·iS2=l2·iS3=l2·kS4=l2·kS5=l2·jS6=l2·j

Resolución

El flujo total (Φ) que atraviesa el cubo será la suma del flujo que atraviesa cada una de las caras (Φ12, ...), o lo que es lo mismo:

Φ=Φ1+Φ2+Φ3+Φ4+Φ5+Φ6

Adicionalmente nos centraremos en la definición del flujo eléctrico de un campo uniforme sobre una superficie plana el cual establece que:

Φ=E·S=E·S·cos(E,S)

Por esta razón vamos a calcular el flujo para cada una de las caras:

Flujo S11)

Φ1=E·S1=(-5·x·i + 3·z·k)·(l2·i) = -5·x·i·l2·i+3·z·k·l2·i Φ1=-5·x·l2·i·i·cos(i,i)+3·z·l2·k·k·cos(i,k) Φ1=-5·x·l2

Durante toda la superficie S1, x vale exactamente el lado del cubo, es decir x = l, por tanto:

Φ1=-5·l·l2 = -5·l3 Φ1=-5·(0.3)3 = -13.5·10-2 N·m2/C

Flujo S22)

Φ2=E·S2=(-5·x·i + 3·z·k)·(-l2·i) = 5·x·i·l2·i-3·z·k·l2·i Φ2=5·x·l2·i·i·cos(i,i)-3·z·l2·i·k·cos(i,k) Φ2=5·x·l2

Durante toda la superficie S2, x vale exactamente 0, es decir x = 0, por tanto:

Φ2=5·0·l2 = 0 Φ2=0 N·m2/C

Flujo S33)

Φ3=E·S3=(-5·x·i + 3·z·k)·(l2·k) = -5·x·i·l2·k+3·z·k·l2·k Φ3=-5·x·l2·i·k·cos(i,k)+3·z·l2·k·k·cos(k,k)  Φ3=3·z·l2

Durante toda la superficie S3, z vale exactamente l, es decir z = l, por tanto:

Φ3=3·l·l2 = 3·0.33Φ3=8.1·10-2 N·m2/C

Flujo S44)

Φ4=E·S4=(-5·x·i + 3·z·k)·(-l2·k) = 5·x·i·l2·k-3·z·k·l2·k Φ4=5·x·l2·i·k·cos(i,k)-3·z·l2·k·k·cos(k,k)  Φ4=-3·z·l2

Durante toda la superficie S4, z vale exactamente 0, es decir z = 0, por tanto:

Φ4=-3·0·l2 Φ4=0 N·m2/C

Flujo S55)

Φ5=E·S5=(-5·x·i + 3·z·k)·(l2·j) = 5·x·i·l2·j-3·z·k·l2·j Φ5=5·x·l2·i·j·cos(i,j)-3·z·l2·i·j·cos(i,j) Φ5=0 N·m2/C

Flujo S66)

Φ6=E·S5=(-5·x·i + 3·z·k)·(-l2·j) = -5·x·i·l2·j+3·z·k·l2·j Φ6=-5·x·l2·i·j·cos(i,j)+3·z·l2·i·j·cos(i,j) Φ6=0 N·m2/C

a) Flujo TOTAL

Φ=8.1·10-2 - 13.5·10-2 Φ= -5.4·10-2 N·m2/C

b)

 

Para determinar la carga eléctrica en su interior utilizaremos el teorema de Gauss, que establece que:

 

Φ=Qε0 Q=Φ·ε0 = -5.4·10-2 ·8.85·10-12 Q= -4.78·10-13 C

No hemos encontrado ninguna fórmula destacable en este ejercicio.