Enunciado

dificultad

La gr谩fica de la figura corresponde a un cuerpo de 150 g de masa que realiza un movimiento arm贸nico simple (m.a.s.).

Se pide calcular:

  1. La velocidad inicial del cuerpo
  2. La aceleraci贸n en los instantes t = 2 s y t = 6 s 
  3. El valor y sentido que tendr谩 la fuerza que act煤a sobre el cuerpo en los instantes t = 0.5 s y t = 1.5 s

Soluci贸n

Datos

  • Masa del cuerpo: m = 150 g = 0.15 kg

Consideraciones previas

A partir de las gr谩ficas podemos sacar los siguientes valores:

  • Amplitud del cuerpo: A = 9 cm = 9路10-2 m
  • Periodo: T = 2 s

Resoluci贸n

1.

Recuerda que la velocidad es la derivada elongaci贸n:

v=dxdt 

Para determinar la expresi贸n de la elongaci贸n podemos usar un seno o un coseno. En nuestro problema, por la similitud de la gr谩fica con la funci贸n seno, usaremos esta 煤ltima.

x=Asint+0

La frecuencia angular viene dada por:

=2f=2T=22=rad/s 

En cuanto a la fase inicial 0 , la calculamos a partir de los valores de la gr谩fica

0=9sin0+00=0 

Con todo lo anterior, ya tenemos la expresi贸n general de la elongaci贸n:

x=9sint

v=dxdt=ddt(9sint)=9cost

La velocidad se calcula haciendo t = 0 s en la expresi贸n anterior, quedando

vi=9cos0=9=28.27m/s

Este valor es, adem谩s, el valor m谩xima de la velocidad y corresponde a la velocidad que tiene el cuerpo cuando pasa por su posici贸n de equilibrio ( x = 0). Por ello tambi茅n podr铆amos haber usado la expresi贸n siguiente, con los valores adecuados.

v=±ω·A2-x2

2.

Podemos obtener la expresi贸n de la aceleraci贸n derivando la velocidad respecto al tiempo:

a=dvdt=ddt(9cost)=-92sint 

Sustituyendo en los instantes se帽alados, nos queda:

t=2a=-92sin2=0

t=6a=-92sin6=0

Los resultados anteriores nos muestran que, en valores m煤ltiplos del periodo fundamental del movimiento ( t = 2 = 2路1 s, t = 6 = 2路3  s ), el cuerpo pasa por la posici贸n de equilibrio ( x = 0 ) resultando la aceleraci贸n ( y la fuerza el谩stica ) nula. Por otro lado, tambi茅n podr铆amos usar para el c谩lculo la relaci贸n entre la elongaci贸n y la aceleraci贸n sabiendo que la elongaci贸n es nula en t = 2 s y t = 6 s:

a=-ω2·x

3.

Finalmente, para el c谩lculo de la fuerza calculamos previamente la constante del movimiento arm贸nico simple:

k=m2=0.152N/m 

La fuerza el谩stica viene determinada por

F=-kx

Donde el signo menos simplemente indica que la fuerza tiene sentido contraio a la elongaci贸n

Por tanto, para

  • t = 0.5 s, x = +9 => Fe=-kx=-0.1529=-13.32N 
  • t = 1.5 s, x = -9 =>Fe=-kx=-0.152(-9)=13.32N

No olvides que la fuerza es una magnitud vectorial. Dado que en el m.a.s. todo el movimiento se desarrolla en una dimensi贸n podemos usar escalares en los que los signos indican sentido. De esta forma el signo - de los valores anteriores indica que la fuerza es contraria a la elongaci贸n x

Ficha de f贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.