Enunciado

dificultad

Un cuerpo de masa 200 g oscila según un movimiento armónico simple de ecuación, en unidades del Sistema Internacional:

x=0.1·cos25·t 

Determina:

  1. La frecuencia del oscilador
  2. La constante recuperadora
  3. La energía cinética, potencial y mecánica para t = 0.5 s
  4. A la vista de los resultados para la energía, ¿puedes concluir algo sobre la posición del cuerpo? 

Solución

Datos

  • Masa: m = 200 g = 0.2 kg
  • Ecuación del movimiento: x=0.1·cos25·t 

Consideraciones previas

Identificando la ecuación del movimiento con la expresión general, x=A·cosω·t+φ0 , podemos extraer los siguientes datos:

  • Amplitud A = 0.1 m
  • Frecuencia angular o pulsación ω=25 rad/s
  • Fase inicial φ0=0 rad

Resolución

1.

Calculamos la frecuencia a partir de la pulsación:

f=ω2·π=252·π=3.97 Hz 

2.

Calculamos la constante recuperadora o constante del m.a.s. a partir de su expresión:

k=m·ω2=0.2·252=125N/m

3.

Calculamos la energía cinética derivando la expresión de la elongación y sustituyendo la velocidad en la de la energía cinética.

v=dxdt=ddt(0.1·cos25·t)=-2.5·sin25·t m/s 

Ec=12·m·v2=12·0.2·(-2.5·sin25·t)2=0.625·sin225·t

Para t = 0.5 s

Ec==0.625·sin225·0.5=2.74·10-3J

Calculamos la energía potencial a partir de la expresión de energía potencial y sustituyendo en ella la elongación:

Ep=12·k·x2=12·k·(0.1·cos25·t)2=12·125·(0.1·cos25·0.5)2=0.62 J

La suma de ambas es la energía mecánica:

Em=Ec+Ep=2.74·10-3+0.62=0.62J

Observa que es el mismo valor que hubieras obtenido a través de la expresión:

Em=12·k·A2

4.

La mayor parte de la energía mecánica del cuerpo es energía potencial. Esto quiere decir que se encuentra cerca de uno de los extremos de la trayectoria. Efectivamente:

x=0.1·cos25·0.50.1 

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.