Cálculo de energías a partir de ecuación del m.a.s. y masa

Datos

• Masa: m = 200 g = 0.2 kg
• Ecuación del movimiento: $x=0.1·\cos \left(25·t\right)$ 

Consideraciones previas

Identificando la ecuación del movimiento con la expresión general, $x=A·\cos \left(\omega ·t+{\phi }_0\right)$ , podemos extraer los siguientes datos:

• Amplitud A = 0.1 m
• Frecuencia angular o pulsación $\omega \hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}25 \text{rad/s}$
• Fase inicial ${\phi }_0=0 \text{rad}$

Resolución

1.

Calculamos la frecuencia a partir de la pulsación:

$$f=\frac{\omega }{2·\pi }=\frac{25}{2·\pi }=\boxed{3.97 \text{Hz}}$$ 

2.

Calculamos la constante recuperadora o constante del m.a.s. a partir de su expresión:

$$k=m·{\omega }^2=0.2·{25}^2=\boxed{125\hspace{0.17em}\text{N/m}}$$

3.

Calculamos la energía cinética derivando la expresión de la elongación y sustituyendo la velocidad en la de la energía cinética.

$$v=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(0.1·\cos \left(25·t\right))=-2.5·\sin \left(25·t\right) \text{m/s}$$ 

$$E_c=\frac{1}{2}·m·v^2=\frac{1}{2}·0.2·(-2.5·\sin \left(25·t\right){)}^2=0.625·{\sin }^2\left(25·t\right)$$

Para t = 0.5 s

$$E_c==0.625·{\sin }^2\left(25·0.5\right)=\boxed{2.74·{10}^{-3}\text{J}}$$

Calculamos la energía potencial a partir de la expresión de energía potencial y sustituyendo en ella la elongación:

$$E_p=\frac{1}{2}·k·x^2=\frac{1}{2}·k·(0.1·\cos \left(25·t\right){)}^2=\frac{1}{2}·125·(0.1·\cos \left(25·0.5\right){)}^2=0.62 \text{J}$$

La suma de ambas es la energía mecánica:

$$E_m=E_c+E_p=2.74·{10}^{-3}+0.62=\boxed{0.62\hspace{0.17em}\text{J}}$$

Observa que es el mismo valor que hubieras obtenido a través de la expresión:

$$E_m=\frac{1}{2}·k·A^2$$

4.

La mayor parte de la energía mecánica del cuerpo es energía potencial. Esto quiere decir que se encuentra cerca de uno de los extremos de la trayectoria. Efectivamente:

$$x=0.1·\cos \left(25·0.5\right)\simeq 0.1$$