Cálculo de magnitudes cinemáticas en movmiento armónico simple

Datos

• Amplitud A = 5 cm
• Comienzo del movimiento x(0) = 5 cm 
• Periodo T = 0.4 s

Consideraciones previas

Primeramente vamos a obtener las frecuencia angular. Después podemos relacionar la posición con la velocidad y la aceleración a través de las expresiones:

Si no recuerdas las expresiones anteriores o no sabes deducirlas puedes usar otro camino, aunque es mucho más laborioso:

1. Obtener la ecuación de la elongación x
2. Derivar dicha ecuación para obtener v y derivar esta para obtener la expresión de a
3. Determinar t para las elongaciones señaladas en cada apartado
4. Sustituir dichos valores en las ecuaciones de v y a y obtener sus valores

Resolución

T = 0.4 s => f = 1/0.4 = 2.5 Hz => $\omega =2·\pi ·f=5·\pi \text{rad/s}$ 

1.

La posición de equilibrio es x = 0. 

$$v=\pm \omega ·\sqrt{A^2-x^2}=\pm 5·\pi ·\sqrt{5^2-0^2}=\pm 25·\pi \text{cm/s}$$ 

El signo indica el sentido (+ hacia la derecha, - hacia la izquierda)

2.

La posición ahora es x = 3 cm. 

$$v=\pm \omega ·\sqrt{A^2-x^2}=\pm 5·\pi ·\sqrt{5^2-3^2}=\pm 20·\pi \text{cm/s}$$ 

El signo indica el sentido (+ hacia la derecha, - hacia la izquierda).

En cuanto a la aceleración:

$$a=-{\omega }^2·x=-25·{\pi }^2·3=-75·{\pi }^2 {\text{cm/s}}^{\text{2}}$$

3.

En los extremos de la trayectoria, es decir cuando x = 5 cm ó x = - 5 cm

$$a=-{\omega }^2·x=-25·{\pi }^2·(\pm 5)=\pm 125·{\pi }^2 {\text{cm/s}}^{\text{2}}$$

El signo indica el sentido (+ hacia la derecha, - hacia la izquierda).

4.

En este caso nos piden la aceleración en x = -1 cm.

$$a=-{\omega }^2·x=-25·{\pi }^2·(-1)=25·{\pi }^2 {\text{cm/s}}^{\text{2}}$$

El signo indica el sentido (+ hacia la derecha, - hacia la izquierda).