Enunciado

dificultad

Un cuerpo está unido a un muelle horizontal. Comienza a oscilar desde uno de los extremos situados a 5 cm de su posición de quilibrio, con un periodo de 0.4 s. Determinar:

  1. La velocidad al pasar por la posición de equilibrio
  2. La velocidad y la aceleración al pasar por x = 3 cm
  3. La aceleración en los extremos de la trayectoria
  4. La aceleración en x = -1 cm

Solución

Datos

  • Amplitud A = 5 cm
  • Comienzo del movimiento x(0) = 5 cm 
  • Periodo T = 0.4 s

Consideraciones previas

Primeramente vamos a obtener las frecuencia angular. Después podemos relacionar la posición con la velocidad y la aceleración a través de las expresiones:

v=±ω·A2-x2

a=-ω2·x

Si no recuerdas las expresiones anteriores o no sabes deducirlas puedes usar otro camino, aunque es mucho más laborioso:

  1. Obtener la ecuación de la elongación x
  2. Derivar dicha ecuación para obtener v y derivar esta para obtener la expresión de a
  3. Determinar t para las elongaciones señaladas en cada apartado
  4. Sustituir dichos valores en las ecuaciones de v y a y obtener sus valores

Resolución

T = 0.4 s => f = 1/0.4 = 2.5 Hz => ω=2·π·f=5·π rad/s 

1.

La posición de equilibrio es x = 0. 

v=±ω·A2-x2=±5·π·52-02=±25·π cm/s 

El signo indica el sentido (+ hacia la derecha, - hacia la izquierda)

2.

La posición ahora es x = 3 cm

v=±ω·A2-x2=±5·π·52-32=±20·π cm/s 

El signo indica el sentido (+ hacia la derecha, - hacia la izquierda).

En cuanto a la aceleración:

a=-ω2·x=-25·π2·3=-75·π2 cm/s2

3.

En los extremos de la trayectoria, es decir cuando x = 5 cm ó x = - 5 cm

a=-ω2·x=-25·π2·(±5)=±125·π2 cm/s2

El signo indica el sentido (+ hacia la derecha, - hacia la izquierda).

4.

En este caso nos piden la aceleración en x = -1 cm.

a=-ω2·x=-25·π2·(-1)=25·π2 cm/s2

El signo indica el sentido (+ hacia la derecha, - hacia la izquierda).

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.