Enunciado

dificultad

La siguiente gráfica representa la elongación en función del tiempo de un cuerpo que se comporta según un movimiento armónico simple:

Determina la amplitud máxima, el periodo, la frecuencia, la frecuencia angular y la fase inicial del movimiento.

 


Solución

Datos

En este problema, los datos que nos dan están implícitos en la gráfica y son, precisamente, los valores de las magnitudes del movimiento armónico simple que nos piden.

Consideraciones previas

Estamos estudiando un movimiento armónico simple. Es importante recordar que la elongación de un muelle que se comporta según el movimiento armónico simple sigue una función sinusoidal cuya expresión viene dada en su forma de coseno por: x=A·cosω·t+φ0 m. De lo que se trata es de identificar, a partir de los valores de la gráfica, proporcionados en unidades del sistema internacional metros y segundos, las magnitudes del m.a.s. A, ω, f, T y φ0 .

Resolución

  • Amplitud máxima A: Viene determinado por el valor máximo (y mínimo) entre los que oscila la gráfica, ya que, redordamos, el valor máximo que alcanza la función coseno es 1. Al multiplicarla por A, se consigue que la función oscile entre -A y A. Por tanto: A = 5 m
  • El periodo T: Viene determinado por el tiempo transcurrido entre dos puntos en los que el cuerpo se encuentra en idéntico estado de vibración. En la gráfica, podemos determinarlo a partir de, por ejemplo, dos máximos consecutivos, aunque podríamos considerar dos mínimos consecutivos, dos cortes con el eje x en sentido decreciente consecutivos, etc. T = tmax2 tmax1 = 13 - 1 = 12 s
  • La frecuencia f: Podemos calcularla como la inversa del periodo: f = 1 / T = 1/12 = 0.083 Hz
  • La frecuencia angular ω: Podemos calcularla a partir de la frecuencia como ω=2·π·f=0.523 rad/s 
  • La fase inicial φ0 : Viene determinado por el valor de la elongación en t = 0 (aproximadamente x(0) = 2.5 m). x=A·cosω·t+φ0=Acosφ0cosφ0=x/Aφ0=cos-1x/A=1.047 rad 

Finalmente, en la figura siguiente pueden observarse las magnitudes señaladas:

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.