Derivada de las funciones trigonométricas inversas

Consideraciones previas

Por un lado, una cuestión de notación. Recuerda que las funciones arccos(x), el arcsin(x) y la arctan(x) se denotan en ocasiones:

Aunque dicha notación puede llevar a confusión con, por ejemplo , en este último caso nos referimos al inverso multiplicativo. En caso de ambigüedad llamaremos a estas últimas funciones trigonométricas recíprocas.

Por otro lado, ya hemos visto en las reglas de derivación que:

En este apartado, se nos pide sin embargo, que hagamos uso de la derivada de la función inversa para llegar al resultado. Esto es:

Resolución

Comenzamos con arcsin(x). Sabemos que es la función inversa de f(x)=sin(x), es decir, f^-1(x)=arcsin(x). También sabemos que:

Con lo que:

Y podemos escribir:

En el caso de que x=1/2 observa que obtenemos el mismo valor si usamos la derivada directamente o la expresión anterior:

Repetimos el proceso para arccos(x). En esta ocasión f(x)=cos(x), f^-1(x)=arccos(x). Sabemos que:

Con lo que:

Y resultando en esta ocasión:

En el punto de abscisa x=1/2 nos queda:

Por último, para el caso de la arctan(x), tenemos que f(x)=tan(x), siendo la inversa f^-1(x)=arctan(x). La derivada de la función tangente, si no la recuerdas directamente puedes obtenerla a partir de las del seno y la del coseno aplicando la derivada del cociente:

Con lo que:

Con lo que la derivada del arco tangente nos queda:

En el punto x=1/2 tenemos: