Lentes Delgadas

Los sistemas ópticos más utilizados en la actualidad son las lentes. Estas forman pate de gafas, cámaras fotográficas, prismáticos y un largo etcétera. En este apartado vamos a estudiarlas a la luz de la óptica geométrica. Para ello veremos:

• Como se definen
• Sus principales tipos
• La ecuación fundamental de las lentes delgadas
• Cómo determinar su foco
• Cómo determinar su aumento lateral
• Qué es la potencia de una lente y qué son las dioptrías
• Qué pasos hay que seguir para su representación gráfica

¿Preparado?

Definición

Etimología de la palabra lente

La palabra lente proviene del latín lens, lentis que significa lenteja. ¿Imaginas el porqué?

Las lentes ópticas son conocidas desde la antigüedad: Aristófanes en su obra Las nubes (423 a.C.) menciona el uso de las mismas para enfocar rayos del Sol y fundir cera. Sin embargo, es el conocimiento de los principios ópticos a partir del S. XV lo que permite desarrollarlas según el fin concreto al que se destinen.

Tipos

Podemos clasificar las lentes atendiendo a distintos criterios:

• Grosor: Decimos que hay lentes delgadas y lentes gruesas según tengan un grosor pequeño o alto respectivamente en comparación con los radios de curvatura de las superficies refractoras y con las distancias s y s'. De ahora en adelante nos centraremos en las lentes delgadas

• Comportamiento: Decimos que hay lentes convergentes (también llamadas convexas o positivas) y lentes divergentes (también llamadas cóncavas o negativas). Las primeras hacen converger ("unen") los rayos que llegan paralelos al eje óptico en un punto denominado foco imagen, a la derecha de la lente. En las segundas los rayos divergen ("se separan") al pasar por la lente, por lo que el foco imagen se sitúa a la izquierda de la lente, dónde convergen las prolongaciones de los rayos.

   

• Forma: Podemos hacer una clasificación atendiendo al valor de los radios de curvatura de los dos dioptrios que componen la lente:

Clasificación de las lentes delgadas atendiendo a su forma.

Observa como las lentes convergentes son más gruesas en su parte central y las divergentes son más gruesas en sus extremos. Por otro lado, las lentes menisco-convexa y menisco-cóncava también se suelen denominar menisco-convergente y menisco-divergente respectivamente. Los signos de los radios indicados corresponden al criterio DIN.

Ecuación fundamental

Variables de la ecuación fundamental

En la imagen están representadas las variables que aparecen en la ecuación fundamental de la lente delgada. Los rayos procedentes del punto P se enfocan en el punto P'. La lente funciona como dos dioptrios de radios R₁ y R₂ respectivamente de manera que la imagen producida por el primero de ellos, P₁, actúa como objeto para el segundo.

¡Atención! La expresión anterior presupone el criterio de signos DIN. Es habitual que encuentras también la siguiente:

$$\frac{n}{s\text{'}}+\frac{n}{s}=\left(n\text{'}-n\right)·\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)$$

Esta última expresión asume el segundo criterio de signos que te presentamos, en el que s es positivo para los objetos reales, es decir, situados delante de la lente y el resto de magnitudes coinciden en signo.

Comprobación

Para obtener la fórmula anterior, partimos del caso particular de la lente biconvexa de la imagen anterior. Al ser una lente delgada, podemos despreciar el grosor de la misma y situar el origen del sistema óptico en el centro de la propia lente. De esta manera, los rayos procedentes del punto P, que se encuentra a una distancia s del origen se refractan en primer lugar en la superficie de radio R₁ y forman una imagen en el punto P₁, a una distancia s₁ del origen. La ecuación fundamental del dioptrio nos da la siguiente relación:

$$\frac{n\text{'}}{s_1}-\frac{n}{s}=\frac{n\text{'}-n}{R_1}$$

Siguiendo su camino en el interior de la lente, los rayos alcanzan el dioptrio de radio R₂. Para este, los rayos parecen provenir de P₁, que actúa esta vez como objeto. Así pues, tras refractarse, forman la imagen de P₁ en el punto P', a una distancia s' del origen. La ecuación fundamental arroja, en este caso, la siguiente igualdad:

$$\frac{n}{s\text{'}}-\frac{n\text{'}}{s_1}=\frac{n-n\text{'}}{R_2}$$

Sumando las dos ecuaciones anteriores, llegamos a la fórmula de las lentes delgadas:

$$\begin{gathered} \left(\cancel{\frac{n\text{'}}{s_1}}-\frac{n}{s}\right)+\left(\frac{n}{s\text{'}}-\cancel{\frac{n\text{'}}{s_1}}\right)=\left(\frac{n\text{'}-n}{R_1}\right)+\left(\frac{n-n\text{'}}{R_2}\right)\Rightarrow \\ \Rightarrow \boxed{\frac{n}{s\text{'}}-\frac{n}{s}=\left(n\text{'}-n\right)·\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)} \end{gathered}$$

La expresión anterior puede ser reescrita si la lente se encuentra en aire ( n = 1 ) según:

$$\boxed{\frac{1}{s\text{'}}-\frac{1}{s}=\left(n\text{'}-1\right)·\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)}$$

Ten presente que, aunque hemos llegado a la expresión buscada considerando una lente biconvexa, su forma es igualmente válida para el resto de tipos de lentes delgadas, sin más que considerar los signos adecuados para R₁ y R₂.

Focos

Existen dos puntos muy importantes cuando estudiamos una lente delgada: su foco objeto y su foco imagen.

• El foco objeto F es el punto en el que hay que colocar el objeto para que los rayos salgan paralelos de la lente. A la distancia entre el origen y el foco objeto se la denomina distancia focal objeto f. Matemáticamente, $s\text{'}=\infty \Rightarrow f=s$ 
• El foco imagen F' es el punto en el que convergen los rayos provenientes del infinito, es decir, aquellos que llegan a la lente paralelos al eje óptico. A la distancia entre el origen y el foco imagen se la denomina distancia focal imagen f'. Matemáticamente, $s=-\infty \Rightarrow f\text{'}=s\text{'}$

Focos en lentes delgadas

Arriba, los rayos procedentes de un objeto situado a una distancia s=f del origen salen paralelos al eje óptico ( s'=∞ ). Abajo, los rayos provenientes del infinito ( s=-∞ ) convergen en el foco imagen, a una distancia s'=f' del origen.

De lo anterior es inmediato:

$$\boxed{f=-f\text{'}}$$

¡Atención! Las expresiones anteriores siguen el criterio de signos DIN. Si siguiéramos el otro criterio de signos presentado en el tema, obtendríamos:

$$\begin{gathered} \frac{n}{f}=\frac{n}{f\text{'}}=\left(n\text{'}-n\right)·\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right) \\ f\text{'}=f \end{gathered}$$

Comprobación

Partiendo de la propia definición dada para las distancias focales y sustituyendo en la ecuación fundamental obtenemos:

$$\frac{n}{s\text{'}}-\frac{n}{s}=\left(n\text{'}-n\right)·\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)\left\{\begin{array}{l}\stackrel{\begin{array}{c}s\text{'}=\infty \\ s=f\end{array}}{\Rightarrow }\boxed{\frac{n}{f}=\left(n-n\text{'}\right)·\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)}\\ \stackrel{\begin{array}{c}s=-\infty \\ s\text{'}=f\text{'}\end{array}}{\Rightarrow }\boxed{\frac{n}{f\text{'}}=\left(n\text{'}-n\right)·\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)}\end{array}\right.$$

Observa que, para desarrollar la identidad anterior, basta considerar la ecuación fundamental y la ecuación del constructor de lentes en función de las distancias focales en el caso en que el medio en el que se encuentra la lente es el aire (n = 1).

Signos distancia focal en lentes convergentes y divergentes

En la figura superior tienes una lente convergente. En ellas el foco imagen se encuentra a la derecha. Por el contrario, en la figura inferior aparece una lente divergente, en las que el foco imagen se encuentra a la izquierda.

La ecuación gaussiana pone claramente de manifiesto que sólo las lentes convergentes producen imágenes reales (a la derecha de la lente). Efectivamente:

$$\frac{1}{s\text{'}}=\frac{1}{f\text{'}}+\frac{1}{s}$$

Para que la imagen sea real se debe cumplir, según criterio DIN, que s' > 0, y por tanto 1/s' > 0. Dado que lo habitual es colocar el objeto a la izquierda de la lente, 1/s < 0, y por tanto la única posibilidad de que 1/s' > 0 es que 1/f' > 0. Esto solo ocurre en las lentes convergentes. Podrás comprobar este punto en el Experimenta y aprende más abajo.

¡Atención! Si en lugar del criterio de signos DIN se utiliza el otro criterio de signos presentado para superficies refractaras, el foco objeto y el foco imagen tienen igual signo, f=f' y la fórmula gaussiana queda:

$$\frac{1}{s}+\frac{1}{s\text{'}}=\frac{1}{f}=\frac{1}{f\text{'}}$$

A pesar de que hemos presentado distintas expresiones en este apartado, no te dejes confundir: en la práctica basta recordar la ecuación fundamental y las definiciones de foco objeto y foco imagen para llegar de unas a otras.

Aumento lateral

La imagen de los objetos puede resultar aumentada o disminuida respecto al objeto original tras atravesar una lente.

Recuerda que el aumento lateral es una magnitud dimensional que te va a permitir, conocida la altura del objeto original o de la imagen, determinar la altura del otro. Además:

• Si |A_L| > 1 , el tamaño de la imagen es mayor que el del objeto
• Si |A_L| < 1 , el tamaño de la imagen es menor que el del objeto
• Si A_L > 0 , la imagen es derecha y en el mismo lado de la lente que el objeto (imagen virtual)
• Si A_L < 0 , la imagen está invertida y en el lado contrario que el objeto (imagen real)

¡Atención! La expresión anterior presupone el criterio de signos DIN. Bajo el otro criterio de signos presentado, nos queda:

$$A_L=\frac{y\text{'}}{y}=-\frac{s\text{'}}{s}$$

Comprobación

Observa la siguiente figura:

Deducción aumento lateral

La torre Eiffel, a la izquierda de la imagen, representa un objeto de altura y cuya imagen tendrá una altura y', en general, diferente, que dependerá del aumento lateral. En las lentes delgadas el rayo que pasa por el centro óptico de la lente, representado en rojo, no modifica su trayectoria y lo utilizaremos para comprobar la expresión del aumento transversal.

Siendo coherentes con el criterio de signos usado, también para los ángulos, podemos comenzar diciendo que:

$$\left.\begin{array}{r}\alpha >0\\ \alpha \text{'}<0\end{array}\right\}\Rightarrow \alpha \text{'}=-\alpha$$

Por otro lado, asumiendo la aproximación paraxial:

$$\tan \left(\alpha \right)\simeq \alpha =\frac{y}{-s} ; tan\left(\alpha \text{'}\right)\simeq \alpha \text{'}=\frac{y\text{'}}{s\text{'}} \stackrel{\alpha \text{'}=-\alpha }{\Rightarrow }\frac{y}{-s}=-\frac{y\text{'}}{s\text{'}}\Rightarrow \frac{y\text{'}}{y}=\frac{s\text{'}}{s}=A_L$$

Potencia y dioptrías

Observa que el signo de la potencia coincide con el de f', de ahí que sea negativa en una lente divergente. Por otro lado, el valor concreto de la misma está fuertemente relacionado con las característica físicas de la lente. Expresando la potencia según:

$$P=\frac{1}{f\text{'}}=\left(n\text{'}-1\right)·\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)$$

puedes ver que la potencia aumenta cuando mayor es el índice de refracción de la lente y cuanto menores sean sus radios de curvatura.

Potencia en lentes

Observa que, suponiendo que todas las lentes de la figura tienen igual índice de refracción, las de los extremos tienen el mayor valor absoluto de potencia, al tener los radios mayores. Además, las dos lentes convergentes de la izquierda tienen una potencia positiva, frente a las dos lentes de la derecha, divergentes, y con potencia negativa. Se cumple que P1 > P2 > P3 > P4.

Gráficas

Podemos obtener la posición y dimensiones de las imágenes de los objetos en la lente desde un punto de vista gráfico. Como ya hemos visto para los dioptrios y los espejos, usaremos lo que se conoce como diagrama de rayos. En ellos nos basta dibujar 2 rayos de trayectoria conocida, de los infinitos posibles. En realidad, es fácil dibujar al menos tres.

Observa que ya hemos visto a lo largo de este tema varios diagramas de rayos. Aquí tienes dos ejemplos más con los que ilustramos los rayos principales de la lente delgada:

Diagramas de rayos en lentes convergentes y divergentes

La imagen superior representa un diagrama de rayos de una lente delgada convergente. En la parte inferior, una lente delgada divergente.

Para dibujar un diagrama de rayos de una lente delgada:

1. Comienza dibujando el eje óptico y la lente delgada en el origen. Para simplificar, puedes utilizar la representación con flechas indicada más arriba según la lente sea convergente o divergente
2. Sitúa el objeto
3. Identifica el foco objeto F y el foco imagen F'
4. Traza al menos 2 de los rayos principales de la punta P del objeto
5. El punto de intersección de los rayos es P', la imagen del punto P
6. Proyecta P' sobre el eje óptico para obtener la base de la imagen del objeto, B'

Experimenta y Aprende

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Sistema óptico con lente delgada

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