En óptica geométrica un diptrio es una superficie que separa dos medios transparentes de distinto índice de refracción. El dioptrio refracta la luz haciendo que los rayos varíen su trayectoria y formando imágenes. En este apartado vamos a analizar como se ven los objetos cuando estas superficies refractoras son esféricas, y lo haremos bajo la aproximación paraxial. Para ello veremos:

¿Empezamos?

Ecuación del dioptrio esférico

La ecuación fundamental del dioptrio esférico es una igualdad que relaciona, bajo aproximación paraxial, la distancia al origen del objeto y la de la imagen con los índices de refracción de los medios y el radio de curvatura del dioptrio según:

n's'-ns=n'-nR

Donde:

  • n y n' : Índices de refracción de los medios 1 y 2 respectivamente. Es una magnitud adimensional
  • s , s' : Son las distancias del objeto y la imagen respectivamente al origen O, situado en el vértice óptico. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m). Según el criterio DIN de signos, que usamos, son negativas cuando están delante del dioptrio y positivas detrás
  • R : Es el radio de curvatura del dioptrio esférico. Su unidad de medida en el S.I. es el metro (m). Según el criterio DIN:

    • Dioptrio convexo → R > 0 
    • Dioptrio cóncavo → R < 0 

Variables de la ecuación fundamental

En la imagen, un esquema de un dioptrio esférico convexo en el que se aprecian las variables que aparecen en la ecuación fundamental. El rayo saliente del punto P se enfoca en el punto imagen P'.

¡Atención! La expresión anterior presupone el criterio de signos DIN. Es habitual que encuentres también la siguiente:

n's'+ns=n'-nR

Esta última expresión asume el segundo criterio de signos que te presentamos, en el que s es positivo para los objetos reales, es decir, situados delante del dioptrio y el resto de magnitudes coinciden en signo.

Comprobación

En este desarrollo nos basaremos en la imagen anterior. Partiendo de la ley de Snell de la refracción podemos encontrar la relación entre i^  y r^fr . Si, además, aplicamos la aproximación paraxial, nos queda:

n·sini^=n'·sinr^frn·i^=n'·r^fr

Por otro lado, nos conviene recordar la relación que existe entre el ángulo exterior a cualquier triángulo y los internos no adyacentes, tal como se recoge en la siguiente figura:

Relación del ángulo exterior a cualquier triángulo.

A^+B^+C^ = 180ºC^+D^ =180º A^+B^+C^ =C^+D^ D^=A^+B^ 

Cualquier ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos opuestos.

Teniendo en cuenta que, según el criterio DIN, α es negativo, y son positivos i^ , r^fr , β , γ , podemos escribir:

  • i^=α+γi^=-α+γ
  • γ=r^fr+βγ=r^fr+βr^fr=γ-β

Sustituyendo en la ley de Snell, nos queda:

n·γ-α=n'·γ-βn'·β-n·α=n'-n·γ

Llegados a este punto, hay que tener presente que la aproximación paraxial supone rayos muy próximos al eje óptico. Tanto, que podemos considerar que el pie de la vertical del punto A coincide con O, por lo que:

tanααhs ;tanγγhR ;tanββhs'

Sustituyendo en la ecuación anterior y simplificando nos queda la ecuación buscada:

n's'-ns=n'-nR

Focos

Existen dos puntos muy importantes cuando estudiamos un dioptrio: su foco objeto y su foco imagen.

El foco objeto de un dioptrio esférico es el punto F del eje óptico en el que tendría que situarse un objeto para que sus rayos saliesen paralelos al eje tras refractarse en el dioptrio. La distancia del foco objeto al vértice del dioptrio se denomina distancia focal objeto y se denota por f. Se cumple que:

f=-R·nn'-n

Donde la unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) de f es el metro ( m ) y el resto de magnitudes ya han sido presentadas anteriormente.

Foco objeto y distancia focal objeto.

Los rayos que pasan por el foco F, a una distancia f del vértice u origen O del diptrio, salen paralelos al eje óptico tras refractarse en este. En la primera imagen tenemos un dioptrio esférico convexo (R > 0) ⇒ f < 0 (lado izquierdo del dioptrio). En la segunda imagen tenemos un dioptrio esférico cóncavo (R < 0 ) ⇒ f > 0 (lado derecho del dioptrio)

El foco imagen de un dioptrio esférico es el punto F' del eje óptico en el que convergen, tras pasar por el dioptrio, los rayos que son paralelos al eje óptico. La distancia del foco imagen al vértice del dioptrio se denomina distancia focal imagen y se denota por f'. Se cumple que:

f'=R·n'n'-n

Donde la unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) de f' es el metro ( m ) y el resto de magnitudes ya han sido presentadas anteriormente.

Foco imagen y distancia focal imagen.

Los rayos provenientes del infinito, paralelos al eje óptico, convergen todos en el foco F', a una distancia f' del vértice u origen O del diptrio, tras refractarse en este. En la imagen superior tenemos un dioptrio esférico convexo (R > 0) ⇒ f' > 0 (lado derecho del dioptrio). En la imagen izquierda tenemos un dioptrio esférico cóncavo (R < 0 ) ⇒ f'<0 (lado izquierdo del dioptrio)

Puesto que f y f' son distancias, seguimos para ellas el mismo criterio de signos que para s y s' respectivamente.

¡Atención! La expresión para la distancia focal objeto presupone el criterio de signos DIN. Es habitual que encuentras también la siguiente:

f=R·nn'-n

Esta última expresión asume el segundo criterio de signos que te presentamos, en el que f debe ser positivo para los objetos reales, es decir, situados delante del dioptrio, y el resto de magnitudes coinciden en signo. Por contra, la expresión de la distancia focal imagen es válida para cualquiera de los dos convenios de signos presentados en el tema.

Características

Las dos expresiones presentadas nos permiten llegar a algunas relaciones interesantes:

  • Si dividimos f entre f':

    ff'=nn'

    En donde se observa que las distancias focales son directamente proporcionales a sus respectivos índices de refracción. También puedes deducir que la distancia focal es mayor, en valor absoluto, en el medio que tenga mayor índice de refracción

  • Si sumamos f con f' :

    f+f'=R

    Es decir, la suma de las distancias focales es igual al radio de curvatura

  • Si dividimos los dos miembros de la ecuación fundamental del dioptrio esférico entre el segundo, obtenemos la ecuación de Gauss:

    f's'+fs=1

Comprobaciones

Aunque hasta ahora hemos presentado muchas fórmulas distintas, lo cierto es que todas parten de la ecuación fundamental. Así, podemos deducir la ecuación de la distancia focal objeto recordando que los rayos deben salir paralelos al eje óptico, lo que significa que s'=∞. Para ese valor de s', s=f , con lo que:

n'-nf=n'-nRf=-R·nn'-n

Por otro lado, podemos deducir la ecuación de la distancia focal imagen recordando lo qué significa que los rayos incidan paralelos al eje óptico, que s=-∞. Para ese valor de s, s'=f' , con lo que:

n'f'-n-=n'-nRf'=R·n'n'-n

Aumento lateral

La imagen de los objetos puede resultar aumentada o disminuida respecto al objeto original tras refractarse en la superficie transparente.

Se define el aumento lateral o aumento transversal de la imagen, y se denota AL , como la relación entre la altura de esta, y', y la altura del propio objeto, y ,según:

AL=y'y=n·s'n'·s

El aumento lateral es una magnitud adimensional que permite, conocida la altura del objeto original o de la imagen, determinar la altura del otro.

  • Si |AL| > 1 , el tamaño de la imagen es mayor que el del objeto
  • Si |AL| < 1 , el tamaño de la imagen es menor que el del objeto
  • Si AL > 0 , la imagen es derecha
  • Si AL < 0 , la imagen está invertida

¡Atención! La expresión anterior presupone el criterio de signos DIN. Bajo el otro criterio de signos presentado, nos queda:

AL=y'y=-n·s'n'·s

Comprobación

Para la demostración nos valdremos de la siguiente figura:

Aumento lateral.

La punta de flecha, a la izquierda de la imagen, representa un objeto de altura y cuya imagen tendrá una altura y', en general, diferente, que dependerá del aumento lateral del dioptrio.

A partir del rayo que sigue la trayectoria POP', y utilizando la aproximación paraxial, podemos escribir:

sini^i^tani^=ys ; sinr^frr^frtanr^fr=y's'

Por otro lado, La ley de Snell bajo aproximación paraxial nos dice que:

n·i^=n'·r^frn·ys=n'·y's'y'y=n·s'n'·s=AL

Gráficas

Es habitual obtener la posición y dimensiones de las imágenes de los objetos en el dioptrio desde un punto de vista gráfico. Para ello se usa lo que se conoce como diagrama de rayos. En ellos nos basta dibujar 2 rayos de trayectoria conocida, de los infinitos posibles. En realidad, es fácil dibujar al menos tres.

Se denominan rayos principales a rayos de trayectoria conocida que nos permiten determinar la posición de la imagen de un objeto en un diagrama de rayos. En el dióptrio esférico son:

  1. El rayo procedente del objeto y paralelo al eje óptico, que, tras refractarse, pasará por el foco imagen
  2. El rayo que, procedente del objeto, pasa por el centro de curvatura del dioptrio. Tras refractarse no modifica su trayectoria
  3. El rayo procedente del objeto que pase por el foco objeto, que, tras refractarse, saldrá paralelo al eje óptico

Observa que ya hemos visto a lo largo de este tema algunos diagramas de rayos. Aquí tienes dos ejemplos más:

Diagrama de rayos

La imagen superior representa un diagrama de rayos en el que un dioptrio convexo ( R > 0 ) forma una imagen del objeto real e invertida. La imagen inferior representa un diagrama de rayos en el que un dioptrio cóncavo ( R < 0 ) forma una imagen del objeto virtual y derecha.

Aunque no se considera un rayo principal, el rayo que coincide con el eje óptico tampoco modifica su dirección y nos sirve para determinar la base de la imagen del objeto.

Para dibujar un diagrama de rayos de un dioptrio esférico:

  1. Comienza situando el eje óptico, el objeto y el dioptrio
  2. Identifica los focos F y F' (y opcionalmente el centro C) del dioptrio
  3. Traza al menos 2 de los rayos principales de la punta P del objeto
  4. El punto de intersección de los rayos es P', la imagen del punto P
  5. Proyecta P' sobre el eje óptico para obtener la base de la imagen del objeto, B'

Experimenta y Aprende
Experimenta y aprende: Reflexión y refracción de la luz.

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Sistema óptico con dioptrio

Aquí puedes simular como se comporta un sistema óptico formado por un dioptrio. Pulsa sobre el botón play para comenzar a experimentar.

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Imagen desde el interior de una pecera esférica

dificultad

Una pecera de superficie esférica tiene un radio de 65 cm. Un pequeño pez observa apacible la cara de un gato que se encuentra a 30 cm de la pecera. Describe las características de la imagen que ve el pez teniendo en cuenta que nagua = 1.33 .

Dioptrio esférico convexo

dificultad
Un cilindro está hecho de un vidrio de índice de refracción n = 1.45  y se coloca a una distancia de 10 cm de la superficie de un mapa del tesoro cuyas letras tienen un tamaño de 1.8 mm. Determina dónde y cómo se formará la imagen de las letras, teniendo en cuenta que la cara inferior del cilindro es esférica y convexa y que su radio  es de 1.6 cm.

Dioptrio esférico cóncavo

dificultad

Un tubo de vidrio que cuenta con un índice de refracción de 1.52 tiene un extremo en forma semiesférica cóncava con radio de curvatura de 12 cm. Determina la posición de las imágenes cuando un objeto puntual se situa a 3 cm de la superficie esférica. Posteriormente, determina a qué distancia debe colocarse el objeto para que la imagen se situe 10 cm a la derecha del dioptrio. Finalmente, determina dónde se forma la imagen cuando el objeto se sitúa muy alejado a la izquierda de la superficie.

Puedes suponer que en el exterior del tubo hay aire ( n = 1 ).

Radio dioptrio a partir de distancias focales

dificultad

Un dioptrio esférico tiene como distancias focales objeto e imagen f = 10 cm y  f' = -20 cm . Responde a las siguentes preguntas:

  • ¿Se trata de un dioptrio convexo o cóncavo?
  • Asumiendo que el primer medio es el aire, ¿cual es el índice de refracción del segundo?
  • ¿Cuál es el radio de la superficie esférica?

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado El Dioptrio Esférico. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Ecuación fundamental dioptrio esférico

n's'-ns=n'-nR

Distancia focal objeto dioptrio esférico

f=-R·nn'-n

Distancia focal imagen dioptrio esférico

f'=R·n'n'-n

Aumento lateral dioptrio esférico

AL=y'y=n·s'n'·s

Ficha de apartados relacionados

El apartado no se encuentra disponible en otros niveles educativos.