El teorema de Rolle establece que:

  • Si una función es contínua en un intervalo [a,b]...
  • ...es derivable en su interior (a,b), es decir, no presenta picos, y...
  • ...tiene el mismo valor en los extremos del intervalo...

...entonces existe al menos un punto de tangente horizontal.

Gráficas de funciones que cumplen el teorema de Rolle

Gráficas del teorema de Rolle

Las funciones en 1, 2 3 cumplen las premisas indicadas en el teorema de Rolle. Observa que la función en 1 tiene una sola tangente horizontal en (a,b), mientras que la función en 2 tiene 2. Una función constante, como la que aparece en 3 cumple que f'(c)=0 para cualquier c∈(a,b).

Formalmente...

Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en su interior (a,b), tal que f(a)=f(b), entonces el teorema de Rolle nos permite afirmar que exite al menos un punto c∈(a, b) tal que f'(c)=0.

Gracias al teorema de Rolle también podemos afimar que, si en un intervalo (a,b) no existe un valor c que anule la derivada, es porque alguna/s de las hipótesis no se cumple/n. Observa la siguiente imagen:

Contraejemplos del teorema de Rolle

Contraejemplos

Las funciones en 1, 2 3 no cumplen todas las premisas indicadas en el teorema de Rolle, y en ninguna de ellas hay un f'(c)=0 en el interior del intervalo considereado (a,b). No obstante, debes tener presente que puede haber funciones que no cumplan alguna de las hipótesis del teorema, y sin embargo cuenten con algún valor c tal que f'(c)=0.

El teorema de Rolle es un caso particlar del teorema del valor medio cuando f(a)=f(b) (que no debes confundir con el teorema de los valores intermedios).

Michel Rolle

Michel Rolle

Michel Rolle (1652 – 1719) fue un matemático francés con importantes trabajos en el campo del análisis. Es reconocido como una de los padres del cálculo infinitesimal debido, precisamente, a su teorema, que formuló sin demostrar a propósito de un problema algebraico-geométrico. Curiosamente fue sus más activos detractores. Según él, el cálculo infinitesimal no era más que una colección de ingeniosa falacias de razonamiento.

Demostración

Partimos de las hipótesis del teorema:

  1. La función es continua en [a,b]
  2. La función es derivable en (a,b)
  3. f(a)=f(b)

Dado que la función es continua en [a,b] (1), por el teorema de Weierstrass, podemos afirmar que alcanza un máximo y un mínimo absoluutos en dicho intervalo. Podemos distinguir dos casos:

  • Que bien el máximo o bien el mínimo se encuentren en (a,b). Si llamamos c al valor del máximo o del mínimo, como f es derivable (2), necesariamente por ser un máximo o un mínimo debe cumplirse que f'(c)=0 (tal y como demostramos al hablar de los extremos de una función en un punto en que la función es derivable)
  • Que el máximo y el mínimo se alcancen en los extremos del intervalo. Como dichos extremos tienen el mismo valor (3), y son extremos absolutos, necesariamente la función es constante, y el valor de su derivada es 0 en todos los puntos del intervlo

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Autor artículo
Sobre el autor
José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

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