Teorema de Weierstrass

El teorema de Weierstrass asegura que toda función contínua en un intervalo [a,b] alcanza su máximo y su mínimo absolutos en dicho intervalo.

Gráficas del teorema de Weierstrass

Cuando una función es continua en un intervalo, siempre alcanza, al menos, un máximo y un mínimo absolutos en él. En la gráfica tenemos 3 casos diferentes de funciones continuas para ejemplificar el teorema.

Una consecuencia importante del teorema es que, dado que es continua en [a, b], la función tomará todos los valores comprendidos entre el máximo absoluto y el mínimo absoluto. Volveremos a esta idea cuando estudiemos el teorema de los valores intermedios.

Formalmente:

Karl Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) fue un matemático alemán con importantes trabajos en el área el análisis matemático. No en vano es conocido como uno de los principales fundadores del mismo. Además del teorema aquí recogido también se le conoce por el teorema de Bolzano-Weierstrass, con el que no debes confundirte. En cualquier caso, su formulación queda fuera de los contenidos de este nivel.

Demostración

Antes de poder realizar la demostración del teorema de Weierstrass debes estar familiarizado con el teorema de acotación, que afirma que toda función continua en un intervalo [a, b] está acotada.

Partimos de M, supremo de f(x) en el intervalo [a,b]. Se trata de demostrar que la función alcanza dicho supremo (esto es un máximo absoluto). Es decir, que existe un valor c∈[a,b] tal que f(c)=M. Procederemos por reducción al absurdo, imaginando que no existiera. Es decir que:

$$f\left(x\right)\ne M, \forall x\in [a,b]$$

Si así fuera, estaríamos en condiciones de afirmar que la función $g\left(x\right)=\frac{1}{M-f\left(x\right)}$ sería continua y estrictamente personal en el intervalo [a,b], ya que f(x) es continua y M siempre sería superior a f(x).

Dado que g(x) sería continua, estaría también acotada superiormente. Llamaremos K a una cota superior de g(x). Entonces se cumple:

$$0<g\left(x\right)<K,\forall x\in [a,b]\Rightarrow \frac{1}{M-f\left(x\right)}<K\Rightarrow \frac{1}{K}<M-f\left(x\right)\Rightarrow \boxed{f\left(x\right)<M-\frac{1}{K}<M}$$

Lo anterior contradice al hecho de que M sea el supremo de f, ya que habría otra cota más pequeña de f:M-1/K. Por tanto, f(x) debe alcanzar el máximo absoluto.

Dejamos como ejercicio propuesto demostrar que si la función es continua en [a,b], alcanzaría su mínimo absoluto. Como pista, ten presente que puedes razonar de manera análoga pero con el ínfimo.