Enunciado

dificultad

Imagina que la rueda de dentada de Fizeau ten铆a 720 dientes y giraba a una velocidad de 12.66 vueltas cada segundo cuando consegu铆a ocultar completamente el rayo luminoso. Sabiendo que la distancia la rueda y el espejo reflector es de 8633 m, determina la rapidez de la luz. A partir de este valor, 驴a qu茅 velocidad angular tendr谩 que aumentar el giro de la rueda para que la luz vuelva a ser visible?


Soluci贸n

Datos

  • Dientes de la rueda: 720
  • Velocidad de giro: 12.66 r.p.s. = 12..66路2路蟺 = 79.53 rad/s
  • Distancia de separaci贸n rueda - espejo reflector: d = 8633 m

Consideraciones previas

En primer lugar debemos hacernos una representaci贸n mental del experimento. En la figura tienes una simplificaci贸n de la situaci贸n:

Rueda y espejo

Como hemos visto en la descripci贸n del experimento en teor铆a, a medida que la velocidad de la rueda aumentaba el rayo dejaba de hacerse visible. Concretamente nos se帽ala el ejercicio que a la velocidad se帽alada, 79.53 rad/s ,se ocultaba completamente el rayo, lo cual quiere decir que todo rayo que consiguiera pasar por la muesca M1 quedaba obstruido en su retorno tras la reflexi贸n por el diente D. Hemos reducido de 720 a 8 el n煤mero de muescas para poder visualizar mejor la situaci贸n.

Resoluci贸n

Sabemos que la velocidad de la luz es constante y se mueve seg煤n un m.r.u. Por tanto podemos escribir:

vluz =st 

El espacio de referencia en el experimento es, justamente 2路d, es decir 2路8633 m = 17266 m. Ese es el espacio recorrido por la luz mientras la rueda gira lo suficiente como para que, al llegar de nuevo la luz a la rueda, se encuentre con un diente (el comienzo del diente D). Teniendo presente que la rueda tiene 720 dientes, tendr谩 el mismo n煤mero de muescas. Puedes comprobar esta 煤ltima afirmaci贸n dibujando una rudimentaria rueda dentada de 4 dientes. Ver谩s como tambi茅n tiene, necesariamente, 4 muescas.

Por consiguiente, si la rueda pasa a trav茅s de M1 y queda bloqueada en la rueda adyacente D, la rueda ha girado 1/(720路2) de vuelta en el tiempo que la luz ha ido al espejo, se ha reflejado y ha vuelto a la rueda. As铆, de esta sencilla relaci贸n podemos obtener el tiempo buscado en la expresi贸n anterior:

ω=φtt=φω

En relaci贸n a 鈭喯, su valor es justamente [鈭喯/(720路2)]路2路蟺 = 0.043 rad, con lo que podemos sustituir datos quedando:

t=φω=0.04379.53=5.4·10-5 s

vluz =st=172665.4·10-5=3.19·108 m/s

Para que el rayo de luz vuelve a verse completamente, el tiempo que tarda la luz en ir y volver debe ser suficiente para que el rayo vuelva a situarse en la posici贸n que ten铆a en la muesca M1, pero en M2. Es decir, la rueda debe girar la muesca completa en la que estaba m谩s el diente adyacente. Matem谩ticamente:

φ=2·1720·2=1720vueltas =π360rad

Por otro lado:

vluz =stt=svluz =2·86333.19·108=5.4·10-5s

Y finalmente:

ω=φt=π3605.4·10-5=161.23 rad/s =25.66 r.p.s

Ficha de f贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.