Enunciado

dificultad

En el fondo de un cubo de 4 m de profundidad lleno de benceno ( nb = 1.501 )  se sit√ļa una peque√Īa bombilla que emite luz en todas direcciones. Sobre su vertical, flotando en la superficie, situamos  por su centro un disco de diam√©tro D. Determina cual debe ser tal diametro D del disco, teniendo en cuenta que la bombilla no es visible para ning√ļn observador en el exterior.


Solución

Datos

  • Profundidad del dep√≥sito: h = 4 m
  • √ćndice de refracci√≥n absoluto del benceno a la longitud de onda considerada nb = 1.501

Consideraciones previas

Sabemos que cuando la luz pasa del benceno al aire los rayos se refractar√°n. La bombilla de luz ser√° visible para un observador situado en el exterior del dep√≥sito siempre que alg√ļn rayo de los refractados pueda incidir sobre la retina del mismo. Sin embargo, el enunciado nos indica expl√≠citamente que, una vez situado el disco, la bombilla no es visible desde el exterior. ¬ŅC√≥mo puede ser esto posible? Debemos recordar que cuando la luz pasa de un medio con un √≠ndice de refracci√≥n mayor a uno menor se produce, para ciertos √°ngulos de incidencia, la reflexi√≥n total (no hay √°ngulo refractado). A partir de aqu√≠ podemos hacer una representaci√≥n de la situaci√≥n:

Disco en cubo de benzeno

Como se pone de manifiesto en la imagen anterior, el radio del disco debe ser tal que tape todos los rayos de luz en los que no se produzca reflexi√≥n total (el rayo morado marca el l√≠mite superior o √°ngulo m√°ximo que puede tener un rayo sin que se produzca reflexi√≥n total). El resto de rayos, que saldr√≠an refractados a la derecha y a la izquierda del disco, como por ejemplo el rojo, tienen un √°ngulo de incidencia mayor que el √°ngulo cr√≠tico, con lo que quedar√≠an atrapados en el benceno.

Resolución

Comenzamos calculando el √°ngulo cr√≠tico o √°ngulo l√≠mite seg√ļn:

θc=arcsenn2n1=arcsen11.501=0.729 rad 

A partir de el ángulo crítico, y del triángulo rectángulo definido podemos escribir:

tanθc=D/248·tanθc=DD=7.14 m

Ficha de fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.