Enunciado

dificultad

Un espejo c√≥nvexo con radio de curvatura de 98 cm refleja los rayos provenientes de un objeto de 12 cm de altura situado a una distancia de 22 cm. Determina la posici√≥n de las im√°genes y su tama√Īo. ¬ŅD√≥nde y con qu√© tama√Īo se formar√≠a la imagen si el objeto se situase a 49 cm del espejo? Si quisiesemos que la imagen se formase 82 cm delante del espejo, ¬Ņd√≥nde tendr√≠amos que situar el objeto?¬ŅQu√© tama√Īo tendr√° la imagen en este √ļltimo caso?


Solución

Datos

  • Espejo convexo
  • Radio del espejo: |R| = 98 cm = 9.8¬∑10-1¬†m
  • Altura del objeto: y = 12 cm = 1.2¬∑10-1¬†m
  • Distancia del objeto al espejo en el primer caso: |s1| = 22 cm = 2.2¬∑10-1¬†m
  • Distancia del objeto al espejo en el segundo¬†caso:¬†|s2| = 49 cm = 4.9¬∑10-1¬†m
  • Distancia de la imagen al espejo¬†en el tercer caso:¬†|s3'| = 82 cm = 8.2¬∑10-1¬†m

Consideraciones previas

Observa la similitud de este ejercicio con este otro ejercicio en el que los datos son similares, pero aparece un espejo cóncavo en lugar de convexo.

Observa que hemos indicado las magnitudes en valor absoluto. La razón es que hasta que no situemos los distintos elementos en el plano y hayamos decidido el criterio de signos, no podemos asignarle uno. Como habitualmente, seguiremos el criterio DIN.

Resolución

Comenzamos buscando la distancia focal del espejo, a partir de su radio. Dado que se trata de un espejo convexo, el radio es positivo, al encontrarse a la derecha del centro óptico:

f=R2=0.982=0.49¬†m¬†=‚ÄČ49¬†cm

La distancia s1 también es negativa, al encontrarse a la izquierda del espejo. Apliquemos la ecuación fundamental para determinar s1' :

1s1'+1s1=1f⇒1s1'=1f-1s1⇒s1'=f·s1s1-f=0.49·-0.22-0.22-0.49=0.15 m =15 cm

Observa que la imagen se produce a la derecha del espejo, y por tanto es una imagen virtual. Por otro lado, recurrimos al aumento transversal o lateral para el c√°lculo del tama√Īo de la imagen:

AL1=y1'y=-s1's1⇒y1'=-y·s1's1=-0.12·0.15-0.22=0.08 m=8 cm

Es decir, se trata de una imagen derecha y de menor tama√Īo que la original.

En el segundo apartado del problema nos piden que digamos d√≥nde se formar√° la imagen cuando el objeto se sit√ļa a 49 cm del espejo. esto es, a igual distancia que el foco, pero en el lado contrario. A partir de la ecuaci√≥n fundamental (ten presente que s2 tambi√©n es negativa la encontrarse a la izquierda del espejo):

1s2'+1s2=1f⇒1s2'=1f-1s2⇒s2'=f·-f-f-f=f2=0.492=0.245 m

En relaci√≥n a su tama√Īo...

AL2=y2'y=-s2's2⇒y2'=-y·s2's2=-0.12·0.245-0.49=0.06 m=6 cm

Podemos ver que la imagen se forma derecha y tiene justo la mitad de tama√Īo que el objeto original.

Finalmente, podemos repetir el proceso para el √ļltimo caso, teniendo presente que s3' < 0 :

1s3'+1s3=1f‚áí1s3=1f-1s3'‚áís3=f¬∑s3's3'-f=0.49¬∑-0.82-0.82-0.49=0.3¬†m¬†‚ÄČ=30¬†cm

Como puedes ver, el objeto debe colocarse en el lado positivo del eje, esto es, a la derecha del espejo. Observa que, a ese lado, el espejo se comportar√≠a en realidad como un espejo c√≥ncavo. Por otro lado, podemos determinar el tama√Īo de la imagen:

AL3=y3'y=-s3's3⇒y3'=-y·s3's3=-0.12·-0.30.82=0.04 m=4 cm

Ficha de fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados