Espejo esférico convexo

Datos

• Espejo convexo
• Radio del espejo: |R| = 98 cm = 9.8·10^-1 m
• Altura del objeto: y = 12 cm = 1.2·10^-1 m
• Distancia del objeto al espejo en el primer caso: |s₁| = 22 cm = 2.2·10^-1 m
• Distancia del objeto al espejo en el segundo caso: |s₂| = 49 cm = 4.9·10^-1 m
• Distancia de la imagen al espejo en el tercer caso: |s₃'| = 82 cm = 8.2·10^-1 m

Consideraciones previas

Observa la similitud de este ejercicio con este otro ejercicio en el que los datos son similares, pero aparece un espejo cóncavo en lugar de convexo.

Observa que hemos indicado las magnitudes en valor absoluto. La razón es que hasta que no situemos los distintos elementos en el plano y hayamos decidido el criterio de signos, no podemos asignarle uno. Como habitualmente, seguiremos el criterio DIN.

Resolución

Comenzamos buscando la distancia focal del espejo, a partir de su radio. Dado que se trata de un espejo convexo, el radio es positivo, al encontrarse a la derecha del centro óptico:

$$f=\frac{R}{2}=\frac{0.98}{2}=0.49 m =\hspace{0.17em}49 cm$$

La distancia s₁ también es negativa, al encontrarse a la izquierda del espejo. Apliquemos la ecuación fundamental para determinar s₁' :

$$\frac{1}{s_1\text{'}}+\frac{1}{s_1}=\frac{1}{f}\Rightarrow \frac{1}{s_1\text{'}}=\frac{1}{f}-\frac{1}{s_1}\Rightarrow s_1\text{'}=\frac{f·s_1}{s_1-f}=\frac{0.49·\left(-0.22\right)}{\left(-0.22\right)-0.49}=0.15 m =15 cm$$

Observa que la imagen se produce a la derecha del espejo, y por tanto es una imagen virtual. Por otro lado, recurrimos al aumento transversal o lateral para el cálculo del tamaño de la imagen:

$$A_{L_1}=\frac{y_1\text{'}}{y}=-\frac{s_1\text{'}}{s_1}\Rightarrow y_1\text{'}=-y·\frac{s_1\text{'}}{s_1}=-0.12·\frac{0.15}{-0.22}=0.08 m=8 cm$$

Es decir, se trata de una imagen derecha y de menor tamaño que la original.

En el segundo apartado del problema nos piden que digamos dónde se formará la imagen cuando el objeto se sitúa a 49 cm del espejo. esto es, a igual distancia que el foco, pero en el lado contrario. A partir de la ecuación fundamental (ten presente que s₂ también es negativa la encontrarse a la izquierda del espejo):

$$\frac{1}{s_2\text{'}}+\frac{1}{s_2}=\frac{1}{f}\Rightarrow \frac{1}{s_2\text{'}}=\frac{1}{f}-\frac{1}{s_2}\Rightarrow s_2\text{'}=\frac{f·\left(-f\right)}{\left(-f\right)-f}=\frac{f}{2}=\frac{0.49}{2}=0.245 m$$

En relación a su tamaño...

$$A_{L_2}=\frac{y_2\text{'}}{y}=-\frac{s_2\text{'}}{s_2}\Rightarrow y_2\text{'}=-y·\frac{s_2\text{'}}{s_2}=-0.12·\frac{0.245}{-0.49}=0.06 m=6 cm$$

Podemos ver que la imagen se forma derecha y tiene justo la mitad de tamaño que el objeto original.

Finalmente, podemos repetir el proceso para el último caso, teniendo presente que s₃' < 0 :

$$\frac{1}{s_3\text{'}}+\frac{1}{s_3}=\frac{1}{f}\Rightarrow \frac{1}{s_3}=\frac{1}{f}-\frac{1}{s_3\text{'}}\Rightarrow s_3=\frac{f·s_3\text{'}}{s_3\text{'}-f}=\frac{0.49·\left(-0.82\right)}{\left(-0.82\right)-0.49}=0.3 m \hspace{0.17em}=30 cm$$

Como puedes ver, el objeto debe colocarse en el lado positivo del eje, esto es, a la derecha del espejo. Observa que, a ese lado, el espejo se comportaría en realidad como un espejo cóncavo. Por otro lado, podemos determinar el tamaño de la imagen:

$$A_{L_3}=\frac{y_3\text{'}}{y}=-\frac{s_3\text{'}}{s_3}\Rightarrow y_3\text{'}=-y·\frac{s_3\text{'}}{s_3}=-0.12·\frac{-0.3}{0.82}=0.04 m=4 cm$$