Enunciado

dificultad
Dificultad alta para los ejercicios de nivel experto

Utilizaremos una lente para enfocar la imagen de un objeto luminoso en una pantalla. Sabiendo que el objeto se encuentra a 8 m de la pantalla, y que se pretende que la imagen sea de tama帽o doble que el mismo, e invertida, di qu茅 tipo de lente debe utilizarse y d贸nde la situar铆as. 驴Existe otra posici贸n para dicha lente que tambi茅n consiga enfocar el objeto en la pantalla?

Soluci贸n

Datos

  • Distancia del objeto a la pantalla |s| + |s'| = 8 m
  • Tama帽o de la imagen: y' = -2路y (imagen invertida)

Resoluci贸n

Para que la lente forme la imagen del objeto en la pantalla, esta debe ser una imagen real. Recuerda que s贸lo las lentes convergentes son capaces de producir im谩genes reales. Puedes deducir esta afirmaci贸n a partir de la ecuaci贸n de Gauss para las lentes delgadas:

1s'-1s=1f'1s'=1f'+1s

Para que la imagen sea real, debe situarse a la derecha de la lente (s'>0). En la expresi贸n anterior puedes observar que esto s贸lo ocurre cuando 1/s' > 0, pero para que esto pase, dado que 1/s < 0, 1/f' debe ser mayor que cero. Esto s贸lo pasa en las lentes convergentes.

Por otro lado, a partir de la expresi贸n del aumento transversal...聽

AL=y'y=s's-2yy=s'ss'=-2s

Por otro lado, sabemos que la distancia objeto pantalla es de 8 metros y que situamos el objeto a la izquierda, es decir, s < 0聽. Recordando que |s| = -s si s<0 nos queda:

s+s'=8-s+-2s=8s=-83m;s'=-2s=163m;

Sabemos d贸nde colocar el objeto, ahora vamos a determinar la distancia focal que debe tener la lente. Volvemos a la ecuaci贸n de Gauss de las lentes delgadas:

1s'-1s=1f'316--38=1f'916=1f'f'=16/9=1.77m

La siguiente imagen ilustra la situaci贸n en que quedar铆an objeto, lente, pantalla e imagen:

"驴Existe otra posici贸n para dicha lente que tambi茅n consiga enfocar el objeto en la pantalla?"

De existir dicha posici贸n debe cumplir las ecuaciones:

1s'-1s=1f';s+s'=8;

Dado que la segunda ecuaci贸n est谩 escrita con valores absolutos, comenzaremos por quitarlos:

s+s'=8s+s'=8sis>0ys'>0s-s'=8sis>0ys'<0-s+s'=8sis<0ys'>0-s-s'=8sis<0ys'<0

Observa que hemos tachado las expresiones que tienen s'<0 o s>0, ya que implican imagen virtual o el objeto a la izquierda de la lente. Ahora ya estamos en disposici贸n de usar las dos ecuaciones para buscar, si existe, otra disposici贸n para la lente que forme im谩genes reales en la pantalla:

-s+s'=8s'=8+s11s'-1s=1f'[1]18+s-1s=1f's-8+ss8+s=1f's2+8s+8f'=0

Resolviendo la ecuaci贸n nos queda:

s1=-5.33s'1=2.66s2=-2.66s'2=5.33

La segunda de las soluciones, s2, s'2, corresponde al apartado anterior. En relaci贸n a la primera, observa que el tama帽o de la imagen, en este caso, ser铆a:

AL=y'y=s's=2.66-5.33=-12y'=-y/2

Es decir, se trata de una imagen real, que se proyectar铆a en la pantalla, pero esta vez el tama帽o ser铆a menor que el del objeto original. La siguiente imagen ilustra la nueva situaci贸n

Autor art铆culo
Sobre el autor
Jos茅 L. Fern谩ndez es ingeniero de telecomunicaciones, profesor y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo libre a escribir art铆culos para Fisicalab y a ayudar a Link a salvar Hyrule.

F贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
Apartados relacionados
AL=y'y=s's

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