Im√°genes formadas por dos lentes convergentes separadas

Enunciado

dificultad
Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel experto

Dos lentes convergentes iguales se encuentran separadas 60 cm. A la izquierda de la primera lente, a una distancia de 50 cm, se sit√ļa un objeto de 4 cm de altura. Sabiendo que la distancia focal imagen de las lentes es de 20 cm, determina la posici√≥n y el tama√Īo de la imagen final.

Solución

Datos

  • Distancia entre lentes d = 60 cm
  • Distancia del objeto a la primera lente |s1| = 50 cm
  • Altura del objeto y = 4 cm
  • Distancia focal imagen de las lentes f'1 = f'2 = 20 cm

Consideraciones previas

Se trata de un sistema formado por dos lentes. La siguiente imagen describe la situación inicial:

Comenzaremos estudiando la primera lente como si la segunda no estuviera y posteriormente consideraremos la imagen de la primera lente el objeto de la segunda lente. La imagen producida por la segunda lente es la imagen del sistema que nos piden.

Por otro lado:

  • Como es habitual, seguiremos el criterio DIN de signos¬†para el estudio de cada lente
  • Utilizaremos por comodidad el cm como unidad de distancias, a pesar de que la unidad del Sistema Internacional es el metro
  • Partiendo de la ecuaci√≥n fundamental de las lentes delgadas, podemos llegar a la ecuaci√≥n gaussiana de las lentes delgadas, asumiendo que las lentes se encuentran en el aire ( n=1 ). Dicha expresi√≥n nos ser√° particularmente √ļtil:

    ns'-ns=n'-n¬∑1R1-1R2‚áís=‚ąěs'=f'nf'=n'-n¬∑1R1-1R2‚áí‚áíns'-ns=nf'‚áín=11s'-1s=1f'

Resolución

Dado que el objeto se encuentra a la izquierda de la primera lente, s1 = -50 cm, con lo que s'1:

1s'1-1s1=1f'⇒1s'1-1-50=120⇒s'1=33.3 cm

Es decir, la imagen de la primera lente se forma 33.3 cm a la derecha de la primera lente. Dado que esta está separada 60 cm de la segunda, s2=60-33.3 = 26.66 cm. Aplicando ahora la ecuación de Gauss a la segunda lente, y teniendo en cuenta que s2 es negativa al estar a la izquierda de la misma, nos queda:

1s'2-1s2=1f'⇒1s'2-1-26.66=120⇒s'2=80 cm

Por tanto, el objeto se forma¬†80 cm a la derecha de la segunda lente. En cuanto a su tama√Īo, debemos calcular el aumento lateral de cada lente:

AL1=s'1s1=33.3-50=-0.66;AL2=s'2s2=80-26.66=-3;

El aumento lateral total del sistema es el producto de ambos, y a partir de ah√≠ puedo calcular el tama√Īo final y' de la imagen tras atravesar todo el sistema:

ALT=y'y=AL1·AL2=-0.66·-3=1.98⇒y'=ALT·y=1.98·4=7.92cm

Es decir, la imagen final es derecha y de mayor tama√Īo que la original.

Autor artículo
Sobre el autor
José L. Fernández es ingeniero de telecomunicaciones, profesor y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo libre a escribir artículos para Fisicalab y a ayudar a Link a salvar Hyrule.

Fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
ns'-ns=n'-n·1R1-1R2
AL=y'y=s's
ALT=y'y=AL1¬∑AL2¬∑‚čĮ¬∑ALn

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