Enunciado

dificultad
Dos lentes convergentes iguales se encuentran separadas 60 cm. A la izquierda de la primera lente, a una distancia de 50 cm, se sitúa un objeto de 4 cm de altura. Sabiendo que la distancia focal imagen de las lentes es de 20 cm, determina la posición y el tamaño de la imagen final.

Solución

Datos

  • Distancia entre lentes d = 60 cm
  • Distancia del objeto a la primera lente |s1| = 50 cm
  • Altura del objeto y = 4 cm
  • Distancia focal imagen de las lentes f'1 = f'2 = 20 cm

Consideraciones previas

Se trata de un sistema formado por dos lentes. La siguiente imagen describe la situación inicial:

Comenzaremos estudiando la primera lente como si la segunda no estuviera y posteriormente consideraremos la imagen de la primera lente el objeto de la segunda lente. La imagen producida por la segunda lente es la imagen del sistema que nos piden.

Por otro lado:

  • Como es habitual, seguiremos el criterio DIN de signos para el estudio de cada lente
  • Utilizaremos por comodidad el cm como unidad de distancias, a pesar de que la unidad del Sistema Internacional es el metro
  • Partiendo de la ecuación fundamental de las lentes delgadas, podemos llegar a la ecuación gaussiana de las lentes delgadas, asumiendo que las lentes se encuentran en el aire ( n=1 ). Dicha expresión nos será particularmente útil:

    ns'-ns=n'-n·1R1-1R2s=s'=f'nf'=n'-n·1R1-1R2ns'-ns=nf'n=11s'-1s=1f'

Resolución

Dado que el objeto se encuentra a la izquierda de la primera lente, s1 = -50 cm, con lo que s'1:

1s'1-1s1=1f'1s'1-1-50=120s'1=33.3 cm

Es decir, la imagen de la primera lente se forma 33.3 cm a la derecha de la primera lente. Dado que esta está separada 60 cm de la segunda, s2=60-33.3 = 26.66 cm. Aplicando ahora la ecuación de Gauss a la segunda lente, y teniendo en cuenta que s2 es negativa al estar a la izquierda de la misma, nos queda:

1s'2-1s2=1f'1s'2-1-26.66=120s'2=80 cm

Por tanto, el objeto se forma 80 cm a la derecha de la segunda lente. En cuanto a su tamaño, debemos calcular el aumento lateral de cada lente:

AL1=s'1s1=33.3-50=-0.66;AL2=s'2s2=80-26.66=-3;

El aumento lateral total del sistema es el producto de ambos, y a partir de ahí puedo calcular el tamaño final y' de la imagen tras atravesar todo el sistema:

ALT=y'y=AL1·AL2=-0.66·-3=1.98y'=ALT·y=1.98·4=7.92cm

Es decir, la imagen final es derecha y de mayor tamaño que la original.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
AL=y'y=s's
ALT=y'y=AL1·AL2··ALn
ns'-ns=n'-n·1R1-1R2