Imágenes formadas por varias lentes convergentes unidas

Datos

• Distancia foca de cada lente: 60 cm
• Distancia del objeto al sistema: |s| = 30 cm
• Distancia de la imagen al sistema |s'| = 10 cm

Consideraciones previas

Aunque la unidad de distancias en el Sistema Internacional es el metro, usaremos por comodidad el centímetro.

Utilizaremos el criterio DIN de signos.

Las lentes son convergentes, por lo que la distancia focal imagen será positiva y la distancia focal objeto negativa. Así: f' = 60 cm ; f = -60 cm.

El objeto se sitúa a la izquierda de la lente, esto significa: s = -30 cm

Partiendo de la ecuación fundamental de las lentes delgadas, podemos llegar a la ecuación gaussiana de las lentes delgadas, asumiendo que las lentes se encuentran en el aire ( n=1 ). Dicha expresión nos será particularmente útil:

$$\begin{gathered} \frac{n}{s\text{'}}-\frac{n}{s}=\left(n\text{'}-n\right)·\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)\stackrel{\begin{array}{c}s=\infty \\ s\text{'}=f\text{'}\end{array}}{\Rightarrow }\frac{n}{f\text{'}}=\left(n\text{'}-n\right)·\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)\Rightarrow \\ \Rightarrow \frac{n}{s\text{'}}-\frac{n}{s}=\frac{n}{f\text{'}}\stackrel{n=1}{\Rightarrow }\boxed{\frac{1}{s\text{'}}-\frac{1}{s}=\frac{1}{f\text{'}}} \end{gathered}$$

Resolución

Conocida la distancia al origen del objeto y de la imagen, podemos determinar la distancia focal total que necesitamos que tenga el sistema, de acuerdo a la ecuación gaussiana:

$$\frac{1}{f{\text{'}}_T}=\frac{1}{s\text{'}}-\frac{1}{s}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30}=\frac{1}{15}\Rightarrow f{\text{'}}_T=15cm$$

Ahora, sabemos que cuando tenemos varias lentes en contacto, la distancia focal total del sistema viene dada por:

$$\frac{1}{f{\text{'}}_T}=\frac{1}{f{\text{'}}_1}+\frac{1}{f{\text{'}}_2}+\cdots +\frac{1}{f{\text{'}}_n}$$

En nuestro caso, todas las lentes con que contamos son iguales y de f' = 60 cm, es decir: f'₁ = f'₂ = ... = f'_n, con lo que podemos escribir:

$$\frac{1}{f{\text{'}}_T}=\frac{1}{f\text{'}}+\frac{1}{f\text{'}}+\cdots +\frac{1}{f\text{'}}=n·\frac{1}{f\text{'}}\Rightarrow n=\frac{f\text{'}}{f{\text{'}}_T}=\frac{60}{15}=4$$

Es decir, necesitamos 4 lentes de las características especificadas para que el objeto se proyecte a 10 cm del sistema. La potencia del sistema sería:

$$P_T=P_1+P_2+P_3+P_4=4·\frac{1}{f\text{'}}=\frac{4}{60·{10}^{-2}}=6.6 D$$