Punto de corte de funciones por Bolzano

Consideraciones previas

Para saber si dos funciones (sus gráficas) se cortan, ya sabes que tenemos que igualarlas y resolver la ecuación que nos queda. Si existe solución, las ecuaciones se cortan en el punto obtenido como solución. Sin embargo algunas de las funciones que nos ocupan son trigonométricas, exponenciales o logarítmicas (llamamos a estas funciones trascendentes), y los métodos vistos hasta ahora para resolver este tipo de ecuaciones no son válidos.

Para saber si en este tipo de casos existe alguna solución, o incluso para aproximar dicha solución, usamos el teorema de Bolzano, como vamos a ver. ¿Empezamos?

Resolución

1.

$$\boxed{\begin{array}{l}y=\cos x\\ y=x^2\end{array}}$$

Como hemos dicho, igualando ambas funciones nos queda cos(x)=x², que queda en cos(x)-x²=0. Se trata ahora de demostrar que dicha ecuación tiene solución. Para ello acudimos a Bolzano. Efectivamente la función Y(x)=cos(x)-x² cumple la primera de las hipótesis de Bolzano: es continua. Tanteando encontramos un intervalo en el que la función cambia de signo (recuerda utilizar la calculadora en radianes):

$$Y=\cos x-x^2\to \left\{\begin{array}{l}x=0\to Y\left(0\right)=\cos 0-0=1>0\\ x=1\to Y\left(1\right)=\cos 1-1<0\end{array}\right.$$

Por tanto, existe un valor c∈[0,1] en el que la función Y(c)=cos(c)-c²=0, y por tanto se cumple que cos(c)=c² . En dicho valor, que es solución de la ecuación, las dos gráficas se cortan, es decir, (c,cos(c)) =(c,c²) con c<0<1. Podemos realizar una interpretación gráfica dibujano un esbozo de las funciones que estamos considerando:

Donde además vemos que hay otro punto simétrico del anterior respecto al eje eje Y. Esto es claro porque las dos funciones son simétricas respecto al eje Y. Como puedes comprobar, el hecho de que encuentres un intervalo en el que se satisfagan las condiciones del teorema de Bolzano, y por tanto haya raíces, no quiere decir que no puedan existir otras raíces en otros intervalos que hayas pasado por alto en un primer tanteo.

Aunque se trata en este ejercicio solo de demostrar si las funciones se cortan, es decir, si Y tiene solución, si deseas saber como calcular el valor concreto de c (la abscisa del punto de corte), te recomendamos que visites este ejercicio sobre resolución de ecuaciones por el teorema de Bolzano.

2.

$$\boxed{\begin{array}{l}y=\cos x\\ y=0.5x\end{array}}$$

En este caso...

$$\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}x\to \cos x-{\displaystyle \frac{1}{2}}x=0$$

Definiendo la función:

$$Y=\cos x-{\displaystyle \frac{1}{2}}x$$

Y es una función continua por ser suma de continuas, a la que podremos aplicar el teorema de Bolzano si encontramos dos valores de la variable para los cuales la función cambia de signo.Probamos con distintos valores de x (normalmente cercanos a x=0):

$$\begin{gathered} x=0\to Y\left(0\right)=\cos 0-{\displaystyle \frac{1}{2}}0=1-0=1>0 \\ x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\to Y\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=0-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}<0 \end{gathered}$$

Como vemos la función $Y=\cos x-{\displaystyle \frac{1}{2}}x$ es continua y cambia de signo para los valores $x=0 y x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ y por lo tanto, por el teorema de Bolzano...

$$\exists c\in \left[0 {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right] tal que Y\left(c\right)=\cos c-{\displaystyle \frac{1}{2}}c=0\to \cos c={\displaystyle \frac{1}{2}}c$$

...que es el valor de x=c   solución del sistema de ecuaciones que queríamos resolver y que reperesenta al punto de intersección de las curvas del enunciado.

3.

$$\boxed{\begin{array}{c}f\left(x\right)=e^{-x}-e^x-1\\ g\left(x\right)=\ln \left(x\right)\end{array}}$$

Debemos de resolver el sistema

$$\left\{\begin{array}{l}y=e^{-x}-e^x-1\\ y=Lnx\end{array}\Rightarrow e^{-x}-e^x-1=Lnx\to e^{-x}-e^x-1-Lnx=0\right.$$

Nuestro trabajo se reduce en resolver la última ecuación. Para ello, podemos pensar en aplicar el teorema de Bolzano. Definimos la función:

$$Y=e^{-x}-e^x-1-Lnx$$

Esta función es continua para los valores de x mayores de cero, pues es en ese intervalo donde es continua la función logarítmica, y las funciones exponenciales son continuas para todo valor real de la variable. Ya se cumple la primera de las premisas de Bolzano (que la función sea continua). Si encontramos un intervalo de valores positivos en donde cambie de signo se cumplirá la segunda hipótesis y podremos asegurar que existe un valor de la variable x para el que la función Y se hace cero y por lo tanto es solución de la ecuación $e^{-x}-e^x-1-Lnx=0$ que, a su vez, es el valor x del punto buscado de intersección entre las dos funciones. Tanteando valores, descubrimos, por ejemplo:

$$Y=e^{-x}-e^x-1-Lnx\to \left\{\begin{array}{l}Y(0.1)=1.1\\ Y\left(1\right)=-3.35\end{array}\Rightarrow \exists c\in \left[0.1 1\right]\right./Y\left(c\right)=0$$

...así pues, el punto de intersección de las funciones dadas pertenece al intervalo [0.1, 1].

Hemos dado el valor x=0.1 porque, a poco que demos algunos valores de x>0, podemos ver que la función Y se hace enseguida negativa, y por lo tanto sólo podía ser positiva para valores próximos a cero. En ellos la función logaritmo es negativa y daría caracter positivo a la función Y puesto que el logaritmo está restando. Como vemos, la función Y para x=1 toma ya un valor "bastante" negativo, por lo que podemos pensar que la solución estará cerca de x=0.1. Vamos ahora a hacer el intervalo más pequeño. Calculamos el valor de Y para x=0.2∈[0.1, 1]: y x=0.3∈[0.1, 1]

$$\left\{\begin{array}{l}Y(0.2)=0.2\\ Y(0.3)=-0.4\end{array}\right.$$

Como hay un cambio de signo en Y, podemos concluir que la solución es con aproximación a las décimas (el intervalo [0.1, 1] tiene amplitud de una décima) x=0.2. Te dejamos a continuación la gráfica de ambas curvas, que tú mismo puedes elaboar con esta calculadora gráfica de funciones, para que verifiques que la solución es correcta: