Bolzano. Raíces polinomio grados 4 y 5

Consideraciones previas

Para de mostrar la existencia de raíces reales podemos utilizar el teorema de Bolzano que recordamos aquí:

Si una función es continua en un intervalo y cambia de signo en sus extremos entonces existe al menos un valor de la variable x=c  que pertence al intervalo cuya imagen es cero, f(c)=0.

Resolución

Sea una función polinómica de quinto grado:

$$y=a x^5+b x^4+c x^3+d x^2+ex+d$$

Como se trata de un polinomio, los límites en infinito y en menos infinito se pueden calcular observando el término de mayor grado a:

$$\text{Si} a>0\to \left\{\begin{array}{l}\underset{x\to -\infty }{\lim }a x^5+b x^4+c x^3+d x^2+ex+d=\underset{x\to -\infty }{\lim }a x^5=-\infty \\ \underset{x\to \infty }{\lim }a x^5+b x^4+c x^3+d x^2+ex+d=\underset{x\to \infty }{\lim }a x^5=\infty \end{array}\right.$$

Dado que la función es continua y el límite en infinito es infinito y en menos infinito es menos infinito, su recorrido (valores que toma la función) es todo ℝ, tomará valores negativos y positivos y, por el teorema de Bolzano, habrá por lo menos algún valor de la variable x=c tal que f(c)=0 como queríamos demostrar.

Obsreva que hemos estudiado el caso en que el parámetro a, coeficiente de la x de mayor grado, es positivo. Si fuera negativo los resultados serían análogos, ya que el límite de la función cuando x tiende a menos infinito hubiera sido más infinito y el límite cuando la x tiende a más infinito hubiera sido sido menos infinito.

Ten presente que las conclusiones a las que hemos llegado para un polinomio de grado 5 también se cumplirían para cualquier polinomio de grado impar.

En el caso de una función polinómica de cuarto grado no es cierto. Para demostrar que una afirmación es falsa basta con dar un ejemplo (o "contraejemplo"). Sea la función:

$$y=x^4+1$$

Es fácil ver que esta función es siempre positiva y mayor que uno como vemos en la gráfica.