Teorema valores intermedios - Darboux

Consideraciones previas

El teorema de los valores intermedios establece que cualquier función continua en un intervalo [a, b] toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b).

En ocasiones el teorema se formula diciendo que la función, continua, toma todos los valores comprendidos entre su máximo y si mínimo en ese intervalo.

Resolución

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\ln \left(x\right)}$$

Para demostrar que la función toma todos los valores comprendidos entre los señalados x=-10 y x=10, buscaremos un intervalo [a, b] en el que la función sea continua y en cuyos extremos se cumpla que f(a)≤-10 y f(a)≥10, o bien que cumpla que f(a)≥-10 y f(a)≤10.

En primer lugar, recuerda que la función f(x)=Ln(x) es continua en todo su dominio, que es el conjunto de valores que hacen el argumento mayor estricto que cero, es decir, que f(x) es continua en el intervalo:

$$Dom\left(f\right)=\left\{x\in \mathrm{ℝ}|x>0\right\}$$

Puede resultarte de ayuda tener en tu mente una representación de la función f(x)=Ln(x):

Para encontrar los extremos del intervalo buscado aplicamos la propia definición de logaritmo:

$$\left.\begin{array}{r}\ln \left(x_1\right)=-10\\ \ln \left(x_2\right)=10\end{array}\right\}\left.\underset{\ln \left(a\right)=b\iff e^b=a}{\Rightarrow }\begin{array}{r}{e}^{-10}=x_1\\ e^{10}=x_2\end{array}\right\}$$

Así pues, el intervalo buscado podría ser [1/e¹⁰, e¹⁰], ya que en él la función es continua y por tanto podemos afirmar que por el teorema de los valores intermedios la función va a tomar todos los valores entre f(1/e¹⁰)=-10 y f(e¹⁰)=10.

2.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\sin \left(x\right)+e^x}$$

En este caso nos preguntar por un único valor, 1/2, y no por un rango de valores como en el punto 1. El procedimiento, no obstante, será similar.

La función de este apartado es continua en todo el conjunto de los reales, por ser suma de funciones continuas.

Tenemos que buscar, tanteando, un intervalo [a, b]  de la variable x tal que f(a)<1/2<f(a) o bien f(a)>1/2>f(a), para poder asegurar, como dice el teorema de los valores intermedios, que existe cϵ[a, b] | f(c)=1/2.. Como decimos, tanteamos valores de x=a y x=b  para los que se cumpla la condición. Normalmente en los ejercicios que nos planteen estarán alrededor de x=0.

$$\left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=sen1+e^1>0\\ f\left(0\right)=sen0+e^0=1\\ f(-1)=sen(-1)+e^{-1}=-0.47\end{array}\right.$$

Observamos por lo tanto que  entre x=-1 y x=0 la función toma todos los valores entre y=-0.47 e y=1. Existe entonces cϵ[a, b] | f(c)=1/2 ya que -0.47<1/2<1. Concluimos que la función dada toma el valor de y=1/2 como pretendíamos descubrir.

Nota: Este apartado en realidad equivale a decir si la ecuación sin(x)+e^x=1/2 tiene solución. Siempre que tengamos que demostrar si una función toma cierto valor tenemos fundamentalmente dos opciones:

• El teorema de Bolzano, que nos permite igualar la función al valor dado y resolver la ecuación que resulta. Este método lo utilizamos normalmente si además de preguntarnos sobre si es posible que la función tome ese valor, también nos preguntan qué valor de la variable hace que eso sea posible y además nos la piden con cierta aproximación.
• Sin embargo, si sólo queremos demostrar que es posible que la función tome cierto valor, pero no nos interesa qué valor de la variable hace que eso sea así, es más sencilo utilizar el teorema de los valores intermedios o propiedad de Darboux, que es el usado en este apartado y en el 3

3.-

En este caso, intentamos comenzar con el procedimiento habitual, comprobar los valores que, seguro, la función toma en el intervalo señalado (puede tomar más).

$$\begin{gathered} f\left(1\right)={(-1)}^2+2=3 \\ f\left(4\right)=2^2+2=6 \end{gathered}$$

Por lo tanto la función toma todos los valores entre 3 y 6. El valor 45/20=2.25 y 2.25 no pertence al intervalo [3, 6] y no podemos decir nada al respecto.

Sin embargo, podemos utilizar la segunda formulación del teorema, que dice que la función debe alcanzar todos los valores entre su máximo y su mínimo. Recuerda que una función continua en un intervalo alcanza su máximo y su mínimo absolutos en él, como afirma el teorema de Weierstrass. Vamos a calcularlos. Recordamos que estos están en los extremos del intervalo o en los extremos relativos que anulan la primera derivada dentro de ese intervalo. Empezamos por los extremos relativos:

$$y\text{'}=2(x-2)=0\Rightarrow x=2 \Rightarrow f\left(2\right)=2$$

El punto (2, 2) es un extremo relativo o punto crítico. Tenemos que recordar que es mínimo relativo si la segunda derivada es positiva como en este caso:

$$y\text{'}\text{'}=2>0$$

Comparamos entonces los tres puntos, los extremos del intervalo y el mínimo relativo:

$$\left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=3\\ f\left(2\right)=2\\ f\left(4\right)=6\end{array}\right.$$

...y por lo tanto deducimos que el mínimo absoluto de la función coincide con el relativo para el cual la función vale f(2)=2 y el máximo absoluto  está en el extremo derecho del intervalo y el valor de la función es f(4)=6. Así, podemos asegurar que la función toma todos los valores entre 2 y 6. Como la ecuación dada es equivalente a saber si la función puede tomar el valor de 45/30=2.25 concluimos que sí, tiene solución puesto que 2.25 está entre 2 y 6.

Nota: Hemos incluido una variante de este apartado que puedes encontrar de interés para profundizar en el teorema de los valores intermedios.

4.-

$$\boxed{f\left(x\right)=P\left(x\right)}$$

En primer lugar, recuerda que un polinomio es continuo en el conjunto de los números reales. Por otro lado, la forma general de un polinomio es P(x)=a₀+a₁·x+a₂·x²+a₃·x³+...+a_n·xⁿ.

El término independiente de un polinomio, a₀, es siempre P(0), ya que el resto de términos se anulan al sustituir la variable independiente por 0. Así pues P(0)=-2 y P(2)=4. El teorema de los valores intermedios nos permite afirmar que el polinomio toma en el intervalo [0, 2] todos los valores comprendidos entre -2 y 4. Ya que P(0)=-2<1<P(2)=4, podemos afirmar que ∃c∈[0, 2] | P(x)=1, que es justamente lo que queríamos comprobar.

5.-

Según el enunciado podemos asegurar, por el teorema de los valores intermedios o de Darboux, que la función toma todos los valores entre f(a)=1 y f(b)=3.  Como no conocemos, ni podemos conocer, los máximos ni mínimos absolutos no podemos concluir nada más.