Optimización de funciones económicas

Consideraciones previas

Se trata de un problema de optimización de funciones en el que seguiremos los pasos indicados en la teoría enlazada. ¿Ayudamos a Toni?

Resolución

En primer lugar, se trata de definir las variables y la función a maximizar. Como nos dice el enunciado, la función a maximizar es el beneficio. Si lo piensas un poco, este va a depender de manera directa del número de unidades vendidas (que podemos llamar n), pero también del precio de las mismas (que podemos llamar p). Así pues:

$$B\left(n,p\right)=n\left(p-2\right)$$

Observa que no hemos puesto n·p, sino n·(p-2) ya que al precio de venta hay que restar los 2€ que cuesta a Toni elaborar su hamburguesa (costo del huevo, del aceite, del pan, etc).

Por otro lado, debemos relacionar las variables n y p a fin de poder dejar la función B como una fución de una sola variable. Si lo piensas, el número de unidades vendidas n será de 350, menos dos unidades por cada diez céntimos adicionales, es decir:

$$n=350-2\left(p·10-4.5·10\right)$$

Por tanto:

$$B\left(p\right)=\left(350-2\left(p·10-4.5·10\right)\right)\left(p-2\right)=-20p^2+300p-520$$

En relación al intervalo considerado, sabemos que p debe ser al menos mayor al costo de fabricación 2€. De hecho, dado que solo tenemos información sobre lo que ocurre con las ventas cuando el precio pasa de 4.5€, consideraremos el intervalo p>4.5€. Ahora buscamos el máximo absoluto de la función a partir de la primera derivada.

$$B\text{'}\left(p\right)=-40p+300\Rightarrow B\text{'}\left(p\right)=0\Rightarrow p=7.5$$

¿Se trata de un máximo o un mínimo? Tenemos tres formas de averiguarlo:

• La función original es una parábola con las ramas hacia abajo, con lo que el valor p=7.5 que anula la primera derivada será necesariamente un máximo (absoluto)
• Podríamos elaborar un cuadro de signos para ver el signo de la primera derivada a la izquierda y a la derecha de p=7.5. A partir de él, veríamos que la primera derivada tiene signo positivo a la izquierda de p=7.5 y negativo a la derecha, con lo que la función original es creciente a la izquierda de 7.5 y decreciente a la derecha, con lo que en p=7.5 existe un máximo (absoluto por tratarse de una parábola)
• Según el criterio de la segunda derivada para determinar máximos o mínimos, como B''(x)=-20<0, entonces p=7.5 es un máximo

En resumen, el máximo beneficio se produce cuando Toni vende su hamburguesa especial a 7.5 euros, lo que debería hacerle vender n=290 hamburguesas, obteniendo un beneficio de B(7.5)=605 euros