Optimización de funciones en cinemática

Datos

• Distancia origen nadadora - punto A: d_na=3 km
• Distancia origen punto A - punto B: d_ab=5 km
• v_nado= 2 km/h
• v_caminando= 6 km/h

Consideraciones previas

Nos encontramos ante un problema de optimización de funciones en el que seguiremos los pasos indicados en la teoría enlazada.

Suponiendo que cada tramo de movimiento se produce a velocidad constante, recuerda que:

$$s=v·t$$

Siendo s el espacio recorrido sobre la trayectoria, v la velocidad y t el tiempo.

Por otro lado, llamaremos x a la distancia que hay entre el punto A y el punto en el que la nadadora toca costa y comienza su tramo a pie, tal como puede observarse en la siguiente figura:

Resolución

Comenzamos el problema buscando la función a maximizar. Se trata del tiempo. Despejando de la ecuación del mru nos quedaría, en cada tramo:

$$t_{\text{nado}}=\frac{s_{\text{nado}}}{v_{\text{nado}}}; t_{\text{caminando}}=\frac{s_{\text{caminando}}}{v_{\text{caminando}}}$$

Siendo el tiempo total empleado la función:

$$t=t_{\text{nado}}+t_{\text{caminando}}=\frac{s_{\text{nado}}}{2}+\frac{s_{\text{caminando}}}{6}$$

Por otro lado, podemos dejar s_nado y s_caminando en función de x. Efectivamente:

• Nadando. Usamos el teorema de Pitágoras ya que el espacio es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Por tanto:

  $$s_{\text{nado}}=\sqrt{x^2+3^2}$$

• Caminando. Nos queda:

  $$s_{\text{caminando}}=5-x$$

Sustituyendo ambos espacios en la función a minimizar tenemos finalmente:

$$t\left(x\right)=\frac{\sqrt{9+x^2}}{2}+\frac{5-x}{6} \text{con} 0\le x\le 6$$

Se trata ahora de buscar los extremos de la función en el intervalo considerado. Para ello comenzamos derivando la función:

$$t\text{'}\left(x\right)=\frac{x}{2\sqrt{9+x^2}}-\frac{1}{6}$$

Igualamos a 0 para obtener los puntos críticos:

$$0=\frac{x}{2\sqrt{9+x^2}}-\frac{1}{6}\Rightarrow 6x=2\sqrt{9+x^2}\Rightarrow 9x^2=9+x^2\Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{9}{8}}$$

Descartamos la solución negativa por encontrarse fuera del intervalo para el cual tenemos definida nuestra x.

¿Se trata de un máximo, un mínimo o un punto silla? Nos valemos de un cuadro de signos:

$$\begin{array}{ccc}& \left(0,\sqrt{\frac{9}{8}}\right)& \left(\sqrt{\frac{9}{8}},6\right)\\ \text{signo} t\text{'}\left(x\right)& -& +\end{array}$$

Se trata de un mínimo relativo. En un intervalo cerrado (0≤x≤6) los extremos absolutos se encontraran entre los relativos, y los propios extremos del intervalo (esto es t=0, t=6 ó t=1.06. Veamos el valor de t(x) en cada caso:

• t(0)=2.33 h
• t(6)=3.18 h
• t(1.06)=0.93 h

Por tanto para minimizar el tiempo de llegada, la nadadora debe ir a nado a un punto de la costa situado a $\sqrt{\frac{9}{8}} km=1.06 km$ del punto A, y hacer el resto del camino a pie.