Energía mecánica y fuerzas no conservativas

Datos

• Masa del bloque: m = 2 kg
• Constante elástica del muelle: k = 150 N·m^-1
• Distancia inicial a la posición de equilibrio: x = 20 cm = 20·10^-2 m
• Coeficiente de rozamiento: μ = 0.2

Apartado 1

En primer lugar tenemos que observar que actúa la fuerza de rozamiento. Esto significa que la energía mecánica del sistema no permanece constante en todos los puntos. Será esta fuerza de rozamiento la responsable de que el bloque termine parándose, pero también la responsable de que el bloque no salga con toda la velocidad que podría debido al impulso del muelle. El principio de conservación de la energía mecánica en presencia de fuerzas no conservativas[ENLACE] nos dice que la variación de la energía mecánica entre dos puntos es igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas entre esos dos puntos. Esto es,

$$W_{nc}=∆E_m$$

Sabiendo esto:

• Al principio del movimiento, la energía mecánica del bloque es la energía potencial elástica del muelle en dicho punto. Su energía cinética es 0, pues está en reposo.
• Cuando se libera el muelle, este empuja al bloque convirtiendo la energía potencial elástica en energía cinética. Dicha energía cinética alcanza su máximo valor cuando el muelle pasa por la posición de equilibrio. En dicho momento, la energía potencial elástica tiene su valor mínimo. Por otro lado, y tal como decíamos anteriormente, en su desplazamiento desde el punto inicial hasta la posición de equilibrio actúa la fuerza de rozamiento que desarrolla un trabajo no conservativo. Dicho trabajo reduce el valor de la energía mecánica inicial en la magnitud indicada anteriormente, y su efecto es un calentamiento de las superficies del suelo y del bloque en contacto 
• Una vez alcanzada la posición de equilibrio, la fuerza elástica del muelle comienza a actuar de nuevo en sentido contrario, haciendo que aumente su energía potencial elástica y se reduzca la cinética. Sin embargo a nosotros lo que nos interesa es lo que sucede con el bloque, que cuenta con la energía cinética que le ha transferido el muelle al pasar por la posición de equilibrio. Dicha energía cinética irá reduciéndose hasta llegar a 0, debido al trabajo de la fuerza de rozamiento. El bloque terminará parándose en ese momento
• Globalmente, el proceso que tiene lugar es que la fuerza de rozamiento disipa toda la energía mecánica del sistema, pues tanto el bloque como el resorte terminan por detenerse.

Por otro lado, observa que la energía potencial gravitatoria permanece constante, al realizarse el movimiento en un plano horizontal. Podemos ignorarla en nuestros cálculos.

Calculamos la energía mecánica inicial (energía potencial elástica):

$$E_{m_1}=E_{p_{e_1}}=\frac{1}{2}·k·x^2=\frac{1}{2}·150·{\left(20·{10}^{-2}\right)}^2=3\hspace{0.17em}J$$ 

Vamos ahora a calcular el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. Primeramente calculamos el valor de la fuerza de rozamiento:

$$F_r=\mu ·N=\mu ·P=\mu ·m·g=0.2·2·9.8=3.92 N$$

El trabajo realizado por dicha fuerza será el valor de la misma, por el valor del desplazamiento, por el coseno del ángulo que formen ambos vectores. Como la fuerza se dirigen en sentido contrario al del desplazamiento, el ángulo es de 180º (π rad) y por tanto:

$$W_{nc}=F_r·x·\cos \left(\pi \right)=-3.92·20·{10}^{-2}=-0.784\hspace{0.17em}J$$

Ahora estamos en condiciones de calcular la energía mecánica en el punto de equilibrio:

$$W_{nc}=∆E_m=E_{m_2}-E_{m_1}\Rightarrow E_{m_2}=W_{nc}+E_{m_1}=-0.784+3=2.216 J$$

Sabemos que dicha energía mecánica es en su totalidad energía cinética, y por tanto, podemos despejar la velocidad a partir de la expresión de la misma:

$$E_{m_2}=E_{c_2}=\frac{1}{2}·m·v^2\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2·E_{c_2}}{m}}=\sqrt{\frac{2·2.216}{2}}=1.48 m/s$$

Apartado 2

Conocemos la velocidad inicial, a partir de la fuerza de rozamiento podemos determinar la aceleración negativa a la que está sometida el cuerpo, por lo que podríamos resolver un problema simple de cinemática, aplicando las expresiones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Sin embargo, los cálculos son más rápidos si tenemos en cuenta el principio de conservación de la energía.

Sabemos que el valor del trabajo realizado por las fuerzas no conservativas (fuerza de rozamiento) en todo el recorrido debe ser igual a la energía mecánica inicial, pues el cuerpo termina parándose:

$$W_{nc}=∆E_m\Rightarrow E_{m_3}-E_{m_2}=W_{nc}\Rightarrow 0-2.216=W_{nc}$$ 

…y como sabemos que dicho trabajo lo realiza la fuerza de rozamiento, podemos despejar el valor del espacio recorrido en esta segunda etapa:

$$W_{nc}=F_r·x_2·\cos \left(\pi \right)\Rightarrow x_2=\frac{-W_{nc}}{\mu ·m·g}=\frac{-\left(-2.216\right)}{0.2·2·9.8}=0.56 m$$