Enunciado

dificultad

Determina las ecuaciones de las gráficas de la figura. Determina también el desfase entre ambos movimientos.

Ondas desfasadas en movimiento armónico simple


Solución

Datos

Los datos del problema están implicitos en la gráfica.

Consideraciones previas

Existen dos expresiones posibles para la ecuación de un movimiento armónico simple. En funcion del seno o en función del coseno. Para determinar el desfase lo mejor es expresar las dos de igual manera.

Vamos a utilizar el coseno. Recordemos la representación de la función f(x)=cosα  es:

Representación de la función coseno en un eje de coordenadas de 0 a 2pi

Resolución

A partir de la gráfica podemos obtener las magnitudes de cada movimiento:

  • Amplitud: A = 4 cm
  • Periodo: T = 4 s
  • Frecuencia f= 1/T = 0.25 Hz
  • Pulsación o frecuencia angular ωω = 2·π·f = 0.5·π rad/s

La expresión será de la forma.

  • 1: x1=4·cos0.5·π·t+φ01cm 
  • 2: x2=4·cos0.5·π·t+φ02cm 

Nos queda determinar la fase inicial de cada una. Lo hacemos a partir del valor en t = 0. 

  • x1(0)=00=4·cos0+φ01φ01=±π2rad  Tomando la gráfica del coseno como referencia la gráfica del coseno, el desplazamiento debe ser hacia la izquierda para obtener la gráfica del movimiento  => φ01=π2rad 
  • x2(0)=-4-4=4·cos0+φ01φ02=π radEn este caso no hay que hacer ningún desplazamiento extra ya que sólo existe un arco cuyo coseno es -1

Finalmente el desfase se puede calcular como la diferencia de fase entre una señal y otra en cualquier instante. Para simplificar los cálculos tomamos el instante t = 0

φ1,2=φ1-φ2=φ01-φ02=π-π2=π2

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.