Funciones Trigonométricas

En el tema dedicado a la trigonometría veíamos la definición de las distintas razones trigonométricas. Ya debes estar familiarizado con el seno, el coseno y la tangente de un ángulo, por ejemplo. También deberían resultarte familiares a estas alturas las razones inversas: la cosecante, la secante y la cotangente. Pues bien, una función trigonométrica no es más que una función en la que la variable independiente, normalmente llamada x, se encuentra afectada por una de estas operaciones.

En este apartado vamos a hacer un análisis detallado de todas ellas a través de los siguientes puntos:

• Definición y algunos ejemplos
• Gráficas
• Dominio
• Imagen o recorrido
• Periodicidad
• Continuidad y derivabilidad
• Asíntotas y ramas
• Simetría
• Puntos de corte con los ejes y signo
• Monotonía y extremos
• Curvatura y puntos de inflexión
• Representación
• Fenómenos reales descritos

¿Empezamos?

Definición

Estudiaremos las propiedades de las funciones trigonométricas, tanto de las razones directas, como de las razones inversas o recíprocas, que en su forma más simple, son:

Todas ellas asocian a cada ángulo x (normalmente expresado en radianes), el valor de la razón correspondiente.

Algunos ejemplos

• f(x)=3·sin(x)
• f(x)=cos(3x)
• f(x)=2·tan(5x+π/3)

En el epígrafe dedicado a la representación gráfica, más abajo, veremos en detalle como se modifican las funciones más simples al aplicar las transformaciones (desplazamientos y escalados) señalados en negrita.

Un breve paréntesis: ¿qué son exactamente las funciones sinusoidales?

De entre todas las funciones trigonométricas, merecen especial atención las conocidas como sinusoidales.

Normalmente utilizamos estas funciones para modelar fenómenos reales tales como el comportamiento de ondas armonicas o la corriente eléctrica alterna. Te invitamos a que visites el apartado sobre el movimiento armónico simple para encontrar una definición más formal de tales conceptos.

Gráficas

Gráficas de funciones trigonométricas

A la izquierda, las gráficas 1, 2 y 3 corresponden a las razones directas. A la derecha, las gráficas 4,5 y 6 son las razones inversas correspondientes. Se trata de funciones periódicas en las que se ha representado el intervalo comprendido entre 0 y 2π. Por otro lado, las funciones en 1 y 2 son las funciones sinusoidales más simples.

Interpretación geométrica

Para visuaizar como se pueden generar las funciones trigonométricas es habitual pensar en un punto que se desplaza sobre la circunferencia goniométrica a una velocidad constante. Las longitudes a lo largo del tiempo de las proyecciones con los ejes o con otros elementos de la circunferencia daría lugar a las funciones trigonométricas estudiadas. Observa la siguiente imagen.

Funciones trigonométricas en la circunferencia

Si desplazamos la bolita roja sobre la circunferencia goniométrica estamos variando el ángulo x. Las proyecciones indicadas darían lugar a las funciones trigonométricas. Así:

• La proyección sobre el eje x da lugar a f(x)=cos(x)
• La proyección sobre el eje y da lugar al f(x)=sin(x)
• La prolongación sobre la recta tangente a la circunferencia en el punto (1,0) da lugar a f(x)=tan(x) y a f(x)=sec(x)
• La prolongación sobre la recta tangente a la circunferencia en el punto (0,1) da lugar a f(x)=cotg(x) y a f(x)=csc(x)

Consulta esta simulación para profundizar sobre esta idea.

Otra forma de plasmar una sinusoide es a través de un rollo de servilleta.

Corte de una función sinusoidal

Si cortas un rollo de cocina formando un ángulo de 45º con su eje obtendrás una sinusoide. Hazlo cuando solo queden unas pocas servilletas (2 o 3), o de lo cntrario obtendrás una "sinusoide atenuada". Ten mucha precaución con el objeto que uses para cortar la servilleta.

Transformaciones y parámetros

A partir de las gráficas anteriores, y aplicando las transformaciones de funciones que ya conoces, es muy fácil representar funciones trigonométricas más complejas. Veamos algunos ejemplos.

Expansión/contracción en eje y

Si multiplicamos la función trigonométrica original por un valor k (3 en este caso), estamos cambiando su escalado en el eje y. Observa en la imagen como el efecto es el de una expansión. Si el valor de k estuviese entre 0 y 1 el efecto sería el de una contracción en el eje y.

En el caso concreto de la función seno (y también coseno), lo que cambia es la amplitud de la misma.

Puedes utilizar la simulación para comprobar que la expansión vertical correspondería a un cambio en el radio de la circunferencia utilizada como referencia (originalmente la goniométrica).

Contracción/expansión en eje x

Si multiplicamos la variable independiente (x en este caso) por un valor k (3 en este caso), estamos cambiando su escalado en el eje x. Observa en la imagen como el efecto es el de una contracción. Si el valor de k estuviese entre 0 y 1 el efecto sería el de una expansión en el eje x.

En el caso concreto de la función seno (y también coseno), lo que cambia es la frecuencia de la misma (y por tanto su periodo). Así, observa la función original en rojo claro, que se repite cada 2π, en cambio la función transformada, en rojo intenso se repite cada 2π/3.

Puedes utilizar la simulación para comprobar que la contracción horizontal correspondería a un cambio en la velocidad angular de giro sobre la circunferencia goniométrica.

Desplazamiento en eje x

Si sumamos al argumento del seno un valor k (π/3 en este caso), estamos "moviéndo" la función en el eje x. Se produciría un desplazamiento hacia la izquierda si k>0, y hacia la derecha si k<0.

En el caso concreto de la función seno (y también coseno), lo que cambia es la fase inicial de la misma, es decir, el valor de la función para x=0.

Puedes utilizar la simulación enlazada para comprobar que el desplazamiento horizontal corresponde con un cambio en el punto inicial sobre el que nos situamos en la circunferencia goniométrica.

Dominio

El dominio, como ya sabes, es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x. Las funciones f(x)=sin(x) y f(x)=cos(x) tienen por dominio el conjunto de los reales ℝ. Dado que el resto de razones se pueden obtener como cocientes a partir de estas dos, en el cálculo de su dominio deberemos quitar los valores que anulen el denominador. Te resumimos esta idea en la siguiente tabla.

Aclaraciones

Puede que te estés preguntando qué significan esos "jeroglíficos" que corresponden al dominio de las 4 últimas funciones. No te dejes intimidar. Vamos a traducir desde el lenguaje natural (castellano en nuestro caso), al matemático:

• Do{m}_f=\left\{x\in \mathrm{ℝ} | x\ne \left(2n+1\right)\frac{\mathrm{\pi }}{2} \text{con} n\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}: Esta es la expresión del dominio de la tangente y de la secante. Ambas tienen al cos(x) en el denominador. Sabemos que no puede existir nada que se divida entre 0, por tanto, debemos quitar del dominio los valores de x que hacen 0 el denominador. Recuerda que el coseno se hace 0 justamente en los múltiplos impares de π/2. La expresión anterior es equivalente a escribir $Do{m}_f=\left\{x\in \mathrm{ℝ} - \text{múltiplos impares de}\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right\}$. Una forma de escribir matemáticamente "multiplos impares" de cualquier número es multiplicar dicho número por (2n+1), siendo n cualquier ℤ (número entero), como por ejemplo (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3..).

• $Do{m}_f=\left\{x\in \mathrm{ℝ} | x\ne n\mathrm{\pi } \text{con} n\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$: Esta es la expresión del dominio de la cosecante y de la cotangente. Ambas tienen el sin(x) en el denominador. De nuevo, como no puede existir nada que se divida entre 0 debemos quitar del dominio los valores de x que hacen 0 el denominador. Recuerda que el seno se hace 0 justamente en los múltiplos de π. La expresión anterior es equivalente a escribir $Do{m}_f=\left\{x\in \mathrm{ℝ} - \text{múltiplos de }\mathrm{\pi }\right\}$. Una forma de escribir matemáticamente "multiplos" de cualquier número es multiplicar dicho número por n, siendo n cualquier ℤ (número entero), como por ejemplo (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3..).

Ahora que ya sabes (o has recordado) como expresar estas dos ideas en lenguage matemático... ¿seguimos?

Recorrido

El recorrido, como probablemente ya has estudiado, es el conjunto de valores que toma la función en sí, esto es, el conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Cuando definíamos las razones trigonométricas habíamos visto por qué el valor del seno y del coseno siempre eran menores o iguales que 1. De ahí que la imagen de f(x)=sin(x) y de f(x)=cos(x) sea precisamente [-1, 1]. Observando las gráficas que te hemos presentado en el epígrafe anterior puedes comprobar que...

Aclaraciones

Queremos seguir ayudándote a descifrar "jeroglíficos" así que vamos a ello... $Re{c}_f=\left\{y\in \mathrm{ℝ} | y\le -1 \vee y\ge 1\right\}$ se lee "y perteneciente ( ∈ ) a los reales ( ℝ ), tal que ( | ) y es menor o igual ( ≤ ) que menos 1 o ( ∨ ) y es mayor o igual ( ≥ ) que 1".

Efectivamente, dado que la cosecante y la secante, por definición, resultan en 1/(algo que oscila entre -1 y 1), su valor siempre será, en valor absoluto, mayor o igual que 1.

Periodicidad

Intuitivamente, decimos que una función cualquiera es periódica cuando repite su forma cada cierto intervalo de su variable independiente x llamado periodo (normalmente representado por T ). Esto es, si f(x)=f(x+T) para cualquier x∈Dom_f.

Los periodos de las funciones trigonométricas más sencillas, quedan recogidos en la siguiente tabla:

Revisa las gráficas en el epígrafe anterior para verificar estos periodos.

Transformaciones y periodicidad

La periodiciad de las funciones trigonométricas arroja algunos resultados curiosos cuando aplicamos transformaciones. Puedes jugar con la simulación de funciones trigonométricas para observar los efectos que describirmos a continuación:

• ¿Qué ocurre si en lugar de f(x)=sin(x) tenemos, por ejemplo, f(x)=sin(a·x) siendo a un número real cualquiera? El periodo se reduce (contracción) o se amplía (expansión)

  • f(x)=cos(x) ⇒ T=2π
    • f(x)=cos(3x) ⇒ T=2π/3
    • f(x)=cos(0.5x) ⇒ T=2π/0.5=4π

• Si aplicamos un desplazamiento horizontal múltiplo del periodo las funciones pueden ser indistinguibles:

  sin(x)=sin(x+2π)

  cos(3x)=cos(3(x-2π/3))

Continuidad y derivabilidad

Esto significa que:

Por otro lado, recuerda que la función derivada de otra nos indica como evoluciona la pendiente de la recta tangente en cada punto de la función original. Así, observa las relaciones:

Derivada del seno y del coseno

Si imaginas la evolución de la recta tangente a las funciones indicadas en cada uno de sus puntos, verás que su pendiente evoluciona según la derivada en ese punto. En la imagen nos centramos en el intervalo [0, 2π). Observa, por ejemplo, como aquellos valores de x en f(x) en los que la recta tangente es horizontal (pendiente igual a cero), corresponden en la derivada f'(x) con cero. Aquellos de pendiente máxima corresponden con f'(x)=1 o f'(x)=-1.

Las derivadas del resto de funciones trigonométricas se obtienen fácilmente a partir de estas y aplicando las propiedades de las derivadas.

• $f\left(x\right)=\tan \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)={\sec }^2\left(x\right)=1+{\tan }^2\left(x\right)$
• $f\left(x\right)=\tan \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)={\sec }^2\left(x\right)=1+{\tan }^2\left(x\right)$
• $f\left(x\right)=\csc \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{-\cos \left(x\right)}{{\sin }^2\left(x\right)}=-\cot \left(x\right)·\csc \left(x\right)$
• $f\left(x\right)=\sec \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{{\cos }^2\left(x\right)}=\sec \left(x\right)·\tan \left(x\right)$
• $f\left(x\right)=\cot \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=-{\csc }^2\left(x\right)=\frac{-1}{{\sin }^2\left(x\right)}$

Asíntotas y ramas

Al ser periódicas, las funciones trigonométricas no poseen ramas parabólicas.

$$\nexists \underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right) \text{y} \nexists \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$$

En cambio, observando las gráficas podemos ver que poseen asíntotas verticales:

• f(x)=csc(x) en $x=\mathrm{\pi }k, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ ya que $\underset{x\to \mathrm{\pi }k}{\lim }\csc \left(x\right)=\infty$. Observa que la posición de las dos asíntotas del primer periodo correspondem al origen, y a la mitad del periodo de la funcion
• f(x)=sec(x) en $x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\left(2k+1\right), k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ ya que $\underset{x\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}\left(2k+1\right)}{\lim }\sec \left(x\right)=\infty$. En este caso, esto corresponden a la cuarta parte del periodo y a 3·T/4
• f(x)=tan(x) en $x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\left(2k+1\right), k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ ya que $\underset{x\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}\left(2k+1\right)}{\lim }\tan \left(x\right)=\infty$. Aquí, la posición de la única asíntota que hay en el primer periodo corresponde a la mitad del periodo de la funcion
• f(x)=cot(x) en $x=\mathrm{\pi }k, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ ya que $\underset{x\to \mathrm{\pi }k}{\lim }\cot \left(x\right)=\infty$. Finalmente, la posición de la asíntota corresponde al origen

Observa que estas discontinuidades asintóticas son periódicas, y aparecen en aquellos valores de x en los que se anularía el sin(x) o el cos(x) que, por definición, se encuentre en el denominador. Entender esto nos permite buscar las asíntotas verticales en funciones más complejas.

Ejemplo

$$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\tan \left(3x\right)={\displaystyle \frac{\sin \left(3x\right)}{\cos \left(3x\right)}}\Rightarrow \text{A.V. en} \cos \left(3x\right)=0\Rightarrow \\ \Rightarrow 3x={\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(2k+1\right),k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{6}}\left(2k+1\right),k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}$$

Simetría

Las funciones trigonométricas más simpes son simétricas, según se recoge en la siguiente tabla.

Corte con los ejes y signo

En la siguiente tabla quedan recogidos los puntos de corte, tanto con eje x como con el eje y.

* Con k∈ℤ.

Corte con los ejes y cambios de signo sobre la circunferencia goniométrica

A la izquierda, situadas sobre la circunferencia goniométrica se encuentran las funciones que se hacen 0 (f(x)=0) para los valores de x de primera vuelta indicados (0, π/2, π ó 3π/2). A la derecha, se indica el signo de las funciones trigonométricas según el cuadrante en el que nos encontremos.

Monotonía y extremos

Para estudiar la monotonía de las funciones trigonométricas, así como sus máximos y mínimos, podemos seguir el procedimiento habitual. Dado que se trata de un procedimiento largo, te resumimos aquí los resultados, que puedes comprobar tú mismo observano las gráficas:

* Con k∈ℤ.

Curvatura y puntos de inflexión

Al igual que sucede con el crecimiento y el decrecimiento, para estudiar la curvatura de las funciones trigonométricas, así como sus puntos de inflexión (esto es, los puntos en los que la función pasa de cóncava a convexa o viceversa), podemos seguir el procedimiento habitual. Igualmente, te resumimos aquí los resultados obtenidos:

* Con k∈ℤ.

Consejos de representación

Aunque existe un método genérico para la representación de funciones cualesquiera, en el caso de las trigonométricas podemos hacer uso de sus características que hemos analizado para simplificar el proceso. Te recomendamos que sigas los siguientes pasos:

1. Debemos tener en mente la forma de la función que estamos representando, que ya hemos estudiado en el epígrafe gráficas. Como ejemplo vamos a hacer una representación de las funciones f(x)=3·cos(5x+2) y g(x)=3·tan((7/2)x-4)

   

   Esbozo inicial

   A la izquierda, la forma de la función coseno, y a la derecha de la tangente. Se trata de la funciones que vamos a representar, y cuya forma debemos tener en mente. Hemos indicado en un rojo más intenso las partes de la función que corresponderían al periodo principal.

2. Vamos a representar un periodo, y a replicarlo. Para ello comenzamos, si es necesario, por sacar factor común de la fase el coeficiente que acompaña a la x. Así:

   $$\begin{array}{c}f\left(x\right)=3\cos \left(\mathbf{5}x+2\right)\Rightarrow f\left(x\right)=3\cos \left(\mathbf{5}\left(x+\frac{2}{\mathit{5}}\right)\right)\\ g\left(x\right)=3\tan \left(\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}x-4\right)\Rightarrow g\left(x\right)=3\tan \left(\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\left(x-\frac{4}{{\displaystyle \frac{7}{2}}}\right)\right)=3\tan \left(\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\left(x-\frac{8}{{\displaystyle 7}}\right)\right)\end{array}$$

3. Seguidamente, calculamos dicho periodo. Si llamamos B al factor en negrita, el periodo T será:

   • T=2π/B en las funciones seno, coseno, cosecante y secante
   • La mitad, esto es T=π/B en las funciones tangente y cotangente

   Por tanto, $T_f=\frac{2\mathrm{\pi }}{5} ;\hspace{0.17em}{T}_g=\frac{\mathrm{\pi }}{{\displaystyle \frac{7}{2}}}=\frac{2\mathrm{\pi }}{7}$

   Representamos dicho intervalo como periodo fundamental, para establecer la escala del eje x

   

4. Marcamos, si las hubiera, las asíntotas verticales que caen en el periodo representado. Seguiremos como referencia la siguiente tabla:

   Función	Posición asíntota/s vertical
   tan(x)	T/2
   csc(x)	0 y T/2
   sec(x)	T/4 y 3T/4
   cot(x)	0

   En nuestro caso, marcamos la asíntota en T/2=π/7

   

5. Desplazamos el periodo representado, si fuera necesario, según el valor que sume o reste a x. Recuerda que los desplazamientos en el eje x se hacen en el sentido contrario al que intuitivamente nos marcaría el signo (con - tenemos que desplazar a la derecha, con + tenemos que desplazar a la izquierda). Por otro lado, recuerda también que, dado que las funciones trigonométricas son periódicas, un desplazamiento superior al periodo es equivalente a un desplazamiento en el periodo fundamental

   

   Desplazamiento horizontal

   Una vez situados los elementos principales de nuestro esbozo, toca hacer el desplazamiento horizontal. Para ello nos fijamos en el coeficiente que suma o resta a la x, a partir de la forma de la fución que utilizamos más arriba para calcular el periodo. En el caso de la función 2, el desplazamiento realizado es de 8/7. La asíntota pasaría a ubicarse en 8/7 + π/7. Observa que, dado que el desplazamiento es mayor que un periodo (2·π/7), podría haberse obtenidos el mismo resultado desplazando unicamente dentro del periodo fundamental una distancia correspondiente a la indicada por la flecha verde. Esto es, el resto de dividir 8/7 entre el periodo 2π/7, que resulta ser $\frac{2\left(4-\mathrm{\pi }\right)}{7}$.

6. Establecemos un punto de referencia, para el escalado del eje y. En el caso de las funciones seno, coseno, cosecante y secante, este puede ser el valor del coeficiente que acompaña a la función (la amplitud del seno o del coseno). En el caso de la tangente y la cotangente simplemente asigna un valor a la x para ver el valor de la y y utilizarlo como referencia

   

   Escalado eje y

   Debemos encontrar referencias para marcar la escala del eje y de nuestro esbozo. En el caso de la función 1, es muy simple. El valor que acompaña a cos es directamente la amplitud de mismo. Para la función 2, damos un valor de x que esté en el periodo, y observamos el correspondiente valor de y (0.5 , 3.71).

7. Finalmente, pintamos la forma de la función en el periodo indicado, y replicamos

   

Aplicaciones en ciencias

Las funciones trigonométricas son ampliamente utilizadas en física química e ingeniería. Veamos algunos ejemplos.

• Corriente alterna (C.A.). Cuando hacemos girar una espira en el seno de un campo magnético según un m.c.u., el flujo magnético que atraviesa la espira varía. Esto provoca una corriente inducida en la espira que tiene la forma de una función sinusoidal.

  

  Generaión de corriente alterna

  Cuando hacemos girar una espira (en naranja), en el seno de un campo magnético generado por el imán (con polos rojo y azul), se produce una variación de tensión o voltaje en los extremos de la misma que producirá una corriente alterna cuando se cierra el circuito.

  De manera simple, la corriente alterna permite transportar la energía eléctrica con menores pérdidas que la continua. De ahí que sea la que se suele utilizar en la mayoría de sistemas de distribución que requieren transportar la electricidad a largas distancias. De hecho, se suele aprovechar la fuente de energía primaria para que, en lugar de una sola espira, haya tres espiras que generen la energía (sistema trifásico).

• Momento de fuerza. El momento de una fuerza es una magnitud que se define como un producto vectorial. En este caso concreto significa que, para una fuerza y una distancia al punto de giro determinadas, el valor del momento varía con el ángulo aplicado según la función seno.

• El sonido. El sonido es una onda de presión, que puede ser descrita como una suma de funciones sinusoidales. Esto se debe a que cualquier función puede ser descrita mediante la descomposición en series de Fourier (esto es justamente eso, una suma de sinusoides de distinta frecuencia y amplitud). El análisis y síntesis de Fourier es fundamental para el tratamiento de señales de cualquier tipo. En concreto, si queremos producir el sonido de un piano de manera electrónica, por ejemplo, podemos generar una suma de funciones senos y cosenos que "simule" el tono y timbre original de la nota buscada del piano.

• Espectrometría. Se trata de una técnica que permite analizar sustancias, encontrando su composición a partir del análisis de ondas que inciden sobre la misma. De ahí que para su desarrollo fue fundamental el manejo de funciones trigonométricas