Un cuerpo realiza un movimiento circular uniformemente acelerado (m.c.u.a), también conocido como movmiento circular uniformemente variado (m.c.u.v), cuando su trayectoria es una circunferencia y su aceleración angular es constante. En este apartado vamos a estudiar:

Ecuaciones del M.C.U.A.

Las ecuaciones del movimiento circular uniformemente acelerado son las siguientes:

φ=φ0+ω·t+12·α·t2

ω=ω0+α·t

α=constante

Donde:

  • φ, φ0: Posición angular del cuerpo en el instante estudiado y posición angular del cuerpo en el instante inicial respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el radián (rad)
  • ω, ω0: Velocidad angular del cuerpo en el instante considerado y en el instante inicial respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el radián por segundo (rad/s)
  • α: Aceleración angular. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el radián por segundo al cuadrado (rad/s2)
  • t:  Instante de tiempo considerado. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el segundo (s)

Aunque las anteriores son las ecuaciones principales del m.c.u.a. y las únicas necesarias para resolver los ejercicios, en ocasiones resulta útil contar con la siguiente expresión: 

ω2=ω02+2·α·φ

La fórmula anterior permite relacionar la velocidad angular y el ángulo recorrido, conocida la aceleración angular y puede ser deducida de las anteriores, tal y como puede verse a continuación.

ω=ω0+α·tφ=φ0+ω0·t+12·α·t2t=ω-ω0αφ=ω0·t+12·α·t2φ=ω0ω-ω0α+12·α·ω-ω0α2;

2·α·φ=ω2-ω02

Puedes recordar fácilmente las ecuaciones del m.c.u.a. ya que son análogas a las del m.r.u.a, pero considerando magnitudes angulares en lugar de lineales.

Relación entre Magnitudes Angulares y Lineales

El m.c.u.a. es un movimiento circular, y como tal, las magnitudes angulares y lineales quedan relacionadas a través del radio R.

Magnitud Lineal Relación Magnitud Angular
espacio recorrido (s) s=φ·R φ
velocidad lineal (v) v=ω·R ω
 aceleración tangencial (at) at=α·R α
aceleración normal (an) an=v2R=ω2·R -
 

De la tabla anterior podemos deducir fácilmente las magnitudes lineales siguientes:

s=φ·R=φ0·R+ω0·R·t+12·α·R·t2s=s0+v0·t+12·at·t2

v=ω·R=ω0·R+α·R·tv=v0+at·t

at=α·R=constante·Rat=constante

Finalmente, recuerda que la aceleración total de un cuerpo puede ser expresada en función de sus componentes intrínsecas, quedando su módulo:

a=at2+an2

Deducción de Ecuaciones del M.C.U.A.

Para obtener las ecuaciones del movimiento circular uniformemente acelerado (m.c.u.a.) procedemos de forma similar a como lo hacíamos con el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.), pero considerando magnitudes angulares, en lugar de lineales. Tendremos en cuenta las siguientes propiedades:

  • La aceleración angular es constante(α=constante)
  • Por otro lado esto implica que la aceleración angular media e instantánea del movimiento tienen el mismo valor en todo momento

Se trata, por tanto, de determinar una expresión para la velocidad angular y otra para la posición angular (la aceleración angular ya sabemos que es constante). Con las restricciones anteriores nos queda:

α=αm=ωt=ω-ω0tω=ω0+α·t

Esta primera ecuación relaciona la velocidad angular del cuerpo con su aceleración angular en cualquier instante de tiempo y se trata de una recta (ω) cuya pendiente coincide con la aceleración angular y cuya coordenada y en el origen es la velocidad angular inicial (ω0). Nos faltaría por obtener una ecuación que nos permita obtener la posición. Para deducirla hay distintos métodos. Nosotros usaremos el teorema de Merton: , ya usado en el m.r.u.a, que nos permite afirmar que el ángulo recorrido en un m.c.u.a. coincide con el correspondiente a un m.c.u. de velocidad angular igual a la media aritmética de las velocidades angulares de los extremos del intervalo de tiempo considerado.

ωm=ω+ω02φ=φ-φ0=ωm·tφ-φ0=ω+ω02·t[1] y [2]φ-φ0=ω0+α·t+ω02·tφ=φ0+ω0·t+12·α·t2

Donde hemos aplicado:

1 ω=ω0+α·t2t=t-t0=t0=0t

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

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