Un cuerpo realiza un movimiento circular uniformemente acelerado (m.c.u.a), también conocido como movmiento circular uniformemente variado (m.c.u.v), cuando su trayectoria es una circunferencia y su aceleración angular es constante. En este apartado vamos a estudiar:

Ecuaciones del M.C.U.A.

Las ecuaciones del movimiento circular uniformemente acelerado son las siguientes:

φ=φ0+ω·t+12·α·t2

ω=ω0+α·t

α=constante

Donde:

  • φ, φ0: Posición angular del cuerpo en el instante estudiado y posición angular del cuerpo en el instante inicial respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el radián (rad)
  • ω, ω0: Velocidad angular del cuerpo en el instante considerado y en el instante inicial respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el radián por segundo (rad/s)
  • α: Aceleración angular. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el radián por segundo al cuadrado (rad/s2)
  • t:  Instante de tiempo considerado. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el segundo (s)

Aunque las anteriores son las ecuaciones principales del m.c.u.a. y las únicas necesarias para resolver los ejercicios, en ocasiones resulta útil contar con la siguiente expresión: 

ω2=ω02+2·α·φ

La fórmula anterior permite relacionar la velocidad angular y el ángulo recorrido, conocida la aceleración angular y puede ser deducida de las anteriores, tal y como puede verse a continuación.

ω=ω0+α·tφ=φ0+ω0·t+12·α·t2t=ω-ω0αφ=ω0·t+12·α·t2φ=ω0ω-ω0α+12·α·ω-ω0α2;

2·α·φ=ω2-ω02

Puedes recordar fácilmente las ecuaciones del m.c.u.a. ya que son análogas a las del m.r.u.a, pero considerando magnitudes angulares en lugar de lineales.

Relación entre Magnitudes Angulares y Lineales

El m.c.u.a. es un movimiento circular, y como tal, las magnitudes angulares y lineales quedan relacionadas a través del radio R.

Magnitud Lineal Relación Magnitud Angular
espacio recorrido (s)
s=φ·R
φ
velocidad lineal (v)
v=ω·R
ω
 aceleración tangencial (at)
at=α·R
α
aceleración normal (an)
an=v2R=ω2·R
-
 

De la tabla anterior podemos deducir fácilmente las magnitudes lineales siguientes:

s=φ·R=φ0·R+ω0·R·t+12·α·R·t2s=s0+v0·t+12·at·t2

v=ω·R=ω0·R+α·R·tv=v0+at·t

at=α·R=constante·Rat=constante

Finalmente, recuerda que la aceleración total de un cuerpo puede ser expresada en función de sus componentes intrínsecas, quedando su módulo:

a=at2+an2

Deducción de Ecuaciones del M.C.U.A.

Para obtener las ecuaciones del movimiento circular uniformemente acelerado (m.c.u.a.) procedemos de forma similar a como lo hacíamos con el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.), pero considerando magnitudes angulares, en lugar de lineales. Tendremos en cuenta las siguientes propiedades:

  • La aceleración angular es constante(α=constante)
  • Por otro lado esto implica que la aceleración angular media e instantánea del movimiento tienen el mismo valor en todo momento

Se trata, por tanto, de determinar una expresión para la velocidad angular y otra para la posición angular (la aceleración angular ya sabemos que es constante). Con las restricciones anteriores nos queda:

α=αm=ωt=ω-ω0tω=ω0+α·t

Esta primera ecuación relaciona la velocidad angular del cuerpo con su aceleración angular en cualquier instante de tiempo y se trata de una recta (ω) cuya pendiente coincide con la aceleración angular y cuya coordenada y en el origen es la velocidad angular inicial (ω0). Nos faltaría por obtener una ecuación que nos permita obtener la posición. Para deducirla hay distintos métodos. Nosotros usaremos el teorema de Merton: , ya usado en el m.r.u.a, que nos permite afirmar que el ángulo recorrido en un m.c.u.a. coincide con el correspondiente a un m.c.u. de velocidad angular igual a la media aritmética de las velocidades angulares de los extremos del intervalo de tiempo considerado.

ωm=ω+ω02φ=φ-φ0=ωm·tφ-φ0=ω+ω02·t[1] y [2]φ-φ0=ω0+α·t+ω02·tφ=φ0+ω0·t+12·α·t2

Donde hemos aplicado:

1 ω=ω0+α·t2t=t-t0=t0=0t

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

M.C.U.A en aspas de ventilador

dificultad

Un ventilador cuyas aspas miden 30cm está situado en el techo girando a 140 r.p.m. Un apagón de luz hace que el ventilador se pare, tras 25 segundos. Calcula:

  1. Aceleración angular
  2. Espacio recorrido en el extremo de un aspa hasta que se detiene y el número de vueltas efectuado
  3. Valores de velocidad lineal, aceleración tangencial, normal y total a los 15 segundos del corte de luz

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Ecuaciones del Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (M.C.U.A). Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Posición angular en m.c.u.a.

φ=φ0+ω·t+12·α·t2

Velocidad angular en m.c.u.a.

ω=ω0+α·t

Aceleración angular en m.c.u.a.

α=constante

Ficha de apartados relacionados

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