Asociar gráficas a expresión analítica en exponenciales

Consideraciones previas

Te recomendamos que consultes las características de las funciones exponenciales en el apartado dedicado a ello. De allí podemos extraer algunas ideas. Las funciones exponenciales tipo f(x)=a^x:

1. Con base mayor que cero son crecientes, y aquellas con base entre 0 y 1 son decrecientes
2. Presentan una asíntota horizontal en y=0
3. Pasan por (0,1) y (1,a)

Resolución

Con todo lo anterior podemos empezar, por ejemplo, por la función azul. Vemos que es creciente, por lo que la base será mayor que cero. Además, vemos que pasa por (0,1) y por (1,2), con lo que se trata de f(x)=2^x.

Vamos ahora a la función en verde. Vemos que es decreciente, por lo que su base debe estar entre 0 y 1. No hay ninguna función escrita en forma de fracción, o con una base menor que 1, pero podemos reescribir la 1 para que sea $f\left(x\right)=\frac{1}{e^{2x}}={\left(\frac{1}{e^2}\right)}^x$. Es decir, la base es (1/e²). Podemos ver que se ajusta a la función verde. Pasa por (0,1), y cuando x=1 el valor es menor que 0.25. También vemos que cuando x=-0.5, el valor de la función está en el entorno de 2.7, que es aproximadamente el valor de e. En definitiva, la función verde es justamente f(x)=e^-2x.

Respecto a la función roja, vemos que es decreciente, pero no como lo sería una exponencial tipo. Si te fijas, es similar en su comportamiento a la función azul, pero "reflejada" en el eje x. Por otro lado, vemos que es simétrica de la función verde. De las dos fuciones que nos quedan, la función roja es f(x)=-(e²)^x. La representación de dicha función sería similar a f(x)=(e^2)x, invirtiéndola de signo, es decir, reflejándola en y=0. Vemos que pasa por (0,1), y por, aproximadamente (0.5, -2,7).

Finalmente, la función naranja es $f\left(x\right)=1+{\left(\frac{1}{e^{-2}}\right)}^x$. El +1 es justamente la asíntota horizontal de la misma, que en lugar de aproximarse a y=0 lo hace a y=1.