Enunciado

dificultad
Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel experto

Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de las siguientes funciones:

  1. fx=2x3-12x2+18x
  2. fx=lnx2+2x+2
  3. fx=x2-2x
  4. fx=exx-2

Solución

Consideraciones previas

Estudiar la curvatura de una función consiste en determinar los intervalos en los que la función es cóncava y en cuáles es convexa. En los puntos en los que una función pasa de cóncava a convexa decimos que hay un punto de inflexión. Aunque ya estudiamos una introducción gráfica al estudio de dicha curvatura en los ejercicios asociados al análisis de funciones del nivel anterior, en este estudiaremos la curvatura a partir de la información extraída de la segunda derivada.

De manera práctica, seguiremos los siguientes pasos:

  1. Determinar el dominio de la función, para asegurarnos que los puntos obtenidos pertenecen al mismo
  2. Calcular la segunda derivada
  3. Igualar la segunda derivada a 0 y despejar los puntos candidatos, que serán los puntos de inflexión
  4. Elabora un cuadro de signos, colocando en dicho cuadro, sobre el dominio de la función, los candidatos a puntos de inflexión obtenidos, y en cada intervalo resultante determinar el signo de la segunda derivada
    1. En los intervalos de signo negativo, la función original es cóncava. En los intervalos de signo positivo, la función es convexa
    2. Aquellos candidatos a puntos de inflexión en los que se produzca un cambio de curvatura son, efectivamente, puntos de inflexión

Puedes consultar la teoría asociada para profundizar al respecto.

Resolución

1.-

fx=2x3-12x2+18x

Puesto que se trata de un polinomio, su dominio es . Buscamos la derivada segunda:

fx=2x3-12x2+18xf'x=6x2-24x+18f''x=12x-24

Igualando la segunda derivada a 0...

f''x=012x-24=0x=2412=2

Construimos el cuadro de signos para la segunda derivada...

-, 22, signo f''-+

Por tanto, la función es cóncava en (-∞, 2). La función es convexa en (2, ∞). El punto de inflexión está en x=2.

2.-

fx=lnx2+2x+2

En este caso, el dominio de la función es x2+2x+2>0Domf=.

Buscamos la segunda derivada...

f'x=2x+2x2+2x+2f''x=2x2+2x+2-2x+22x+2x2+2x+22=-2xx+2x2+2x+22

Igualando la segunda derivada a 0 obtenemos...

-2xx+2x1=0x2=-2

Con ambos candidatos a puntos de inflexión hacemos el cuadro de signos...

-, -2-2,00, signo f''-+-

Por tanto, la función es cóncava en (-∞, -2) y en (0, ∞). La función es convexa en (-2, 0). Los puntos de inflexión están en x=-2 y en x=0.

3.-

fx=x2-2x

Comenzamos quitando del dominio aquellos valores que anulan el denominador, con lo que Dom(f)=ℝ-{0}. Ahora buscamos la segunda derivada:

f'x=2x2-x2-2x2=x2+2x2f''x=2x3-2xx2+2x4=-4x3

Igualando la segunda derivada a 0 obtenemos x1=0, x2=-2 y x3=2. Construimos nuestro cuadro de signos:

-, 00, signo f''+-

Por tanto, la función es cóncava en (0, ∞) y convexa en (-∞, 0). Dado que x=0 no pertenece al dominio, no se trata de un punto de inflexión.

4.-

fx=exx-2

El dominio de la función está formado por el conjunto de los números reales. Por otro lado, buscamos la segunda derivada:

f'x=exx-2+ex=exx-1

Volvemos a derivar...

f''x=exx-1+ex=exx

El único valor que hace f''(x)=0 es x=0, candidato a punto de inflexión, con lo que ya podemos construir nuestra tabla de signos...

-, 00, signo f''-+

Esto quiere decir que en el tramo (-∞, 0) la fución es cóncava, y en el tramo (0, ∞) es convexa, siendo x=0 la abscisa del punto de inflexión de la función f.

Autor artículo
Sobre el autor
José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
gx=k·fxg'x=k·f'x
fx=xnf'x=n·xn-1 n
fx=logaxf'x=1xlogae
Df+g=f'+g' ;Df-g=f'-g'
Df·g=f'·g+f·g'
Dfg=f'·g-f·g'g2

Y ahora... consulta más ejercicios relacionados o la teoría asociada si te quedaron dudas.