Determinar si un punto es de inflexión

Consideraciones previas

Estudiar la curvatura de una función consiste en determinar los intervalos en los que la función es cóncava y en cuáles es convexa. En los puntos en los que una función pasa de cóncava a convexa decimos que hay un punto de inflexión.

Dado un punto cualquiera, por su coordenada x, podemos saber si es de inflexión calculando el valor de la segunda y la tercera derivada en él. Si es de inflexión debe cumplirse que:

$$f\text{'}\text{'}\left(x_{\mathrm{i}}\right)=0\text{ y }f\text{'}\text{'}\text{'}\left(x_{\mathrm{i}}\right)\ne 0$$

Consulta el apartado sobre curvatura de una función para prufundizar en la teoría asociada.

Resolución

1.-

$$\boxed{y=5-{\left(x+2\right)}^3}$$

Buscamos la segunda y la tercera derivadas para saber si x=-2 es un punto de inflexión:

$$y=5-{\left(x+2\right)}^3\Rightarrow y\text{'}=-3{\left(x+2\right)}^2\Rightarrow y\text{'}\text{'}=-6{\left(x+2\right)}^2\Rightarrow y\text{'}\text{'}\text{'}=-6$$

Usando la notación y=f(x), más útil en estos casos, nos queda...

$$f\text{'}\text{'}\left(-2\right)=-6\left(-2+2\right)=0 ;\hspace{0.17em}f\text{'}\text{'}\text{'}\left(-2\right)=-6$$

Por tanto se cumple la condición, y x=-2 es un punto de inflexión.

2.-

$$\boxed{y=3x+{\left(x-5\right)}^6}$$

Calculamos la segunda y la tercera derivada:

$$y=3x+{\left(x-5\right)}^6\Rightarrow y\text{'}=3+6{\left(x-5\right)}^5\Rightarrow y\text{'}\text{'}=30{\left(x-5\right)}^4\Rightarrow y\text{'}\text{'}\text{'}=120{\left(x-5\right)}^3$$

Usando la notación y=f(x), más útil en estos casos, nos queda...

$$f\text{'}\text{'}\left(5\right)=30{\left(5-5\right)}^4=0 ;\hspace{0.17em}f\text{'}\text{'}\text{'}\left(5\right)=120{\left(5-5\right)}^3=0$$

Por tanto, x=5 no es un punto de inflexión de la función dada.