Enunciado

dificultad
Dificultad alta para los ejercicios de nivel avanzado

Determina el 谩ngulo respecto a la horizontal con el que hay que lanzar un bal贸n para que entre a la porter铆a rozando el palo superior, situado a una altura de 2.45 m y a 9 m del punto de lanzamiento. El bal贸n es lanzado a una velocidad de 82 km/h. Ten en cuenta que el bal贸n debe encontrarse en el punto m谩s alto de su trayectoria para que entre rozando el palo superior de la porter铆a.

Soluci贸n

Datos

  • Valor de la velocidad inicial del movimiento v0聽= 82 km/h = 22.78 m/s
  • Altura de la porter铆a (altura final)聽y聽= 2.45聽m
  • Distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y la porter铆a (distancia final) x = 9聽m

Consideraciones previas

  • Se trata de un movimiento parab贸lico. El movimiento parab贸lico es una composici贸n de dos movimientos:
  • El vector velocidad inicial se puede escribir como:

    v0=v0xi+v0yj=v0cosi+v0sinj

    聽 es justamente el 谩ngulo pedido

  • El bal贸n entra en la porter铆a en el punto m谩s alto de la trayectoria, es decir, cuando vy聽= 0

  • Consideramos el valor de la gravedad g = 9.8 m/s2

Resoluci贸n

La ecuaci贸n de posici贸n en el movimiento parab贸lico viene dada por la expresi贸n:

r(t)=v0xti+v0yt-12gt2j=v0costi+v0sint-12gt2j

El vector velocidad viene dado por la expresi贸n

v(t)=v0xi+(v0y-gt)j=v0cosi+(v0sin-gt)j

Cuando el bal贸n entra por la porter铆a se cumple que:

rf=9i+2.45j;vf=v0xi+0j

Si igualamos las expresiones de la ecuaci贸n de posici贸n y de velocidad a los vectores anteriores, podemos utilizar la componente y de la velocidad vy y la componente x del vector de posici贸n rx para determinar el 谩ngulo de lanzamiento:

0=v0sin-gt9=v0cost0=v0sin-gtt=9v0cos0=v0sin-g9v0cost=9v0cosg9v0cos=v0sin88.2=22.782sincos

Ahora es necesario que recordemos la siguiente igualdad trigonom茅trica para poder resolver la ecuaci贸n:

sincos=sin22

A partir de ella resolvemos:

88.2=22.782sincos0.169=sin222=sin-10.339=0.17rad

Autor art铆culo
Sobre el autor
Jos茅 Luis Fern谩ndez Yag眉es es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la f铆sica, las matem谩ticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

F贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
Apartados relacionados
x=vxt=v0cost
y=H+v0yt-12gt2=H+v0sint-12gt2
vx=v0x=v0cos
vy=v0y-gt=v0sin-gt

Y ahora... consulta m谩s ejercicios relacionados o la teor铆a asociada si te quedaron dudas.

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