Distancia de lanzamiento en movimiento parabólico

Datos

• Velocidad inicial del movimiento $\overrightarrow{v_0}=3·\overrightarrow{i}+4·\overrightarrow{j} m/s$ 
• Altura inicial: y₀ = H = 1.8 m
• Altura de la diana (altura final) y = 1.5 m

Consideraciones previas

• Se trata de un movimiento parabólico. El movimiento parabólico es una composición de dos movimientos:
  • movimiento rectilíneo uniforme en el eje x
  • movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el eje y

Resolución

La ecuación de posición en el movimiento parabólico viene dada por la ecuación:

$$\overrightarrow{r}\left(t\right)=\left(v_{0x}·t\right)·\overrightarrow{i}+\left(H+v_{0y}·t-\frac{1}{2}·g·t^2\right)·\overrightarrow{j}$$ 

El vector de posición al final del movimiento viene dado por:

$$x\overrightarrow{i}+1.5·\overrightarrow{j}$$

La incógnita x, es justamente el valor pedido, la distancia a la que debemos situarnos para que el proyectil impacte en la diana. Por tanto, igualando el vector de posición final a la expresión genérica del vector de posición podemos despejar las incógnitas que necesitemos:

$$\overrightarrow{r}\left(t\right)=\left(v_{0x}·t\right)·\overrightarrow{i}+\left(H+v_{0y}·t-\frac{1}{2}·g·t^2\right)·\overrightarrow{j}=x\overrightarrow{i}+1.5·\overrightarrow{j}$$ 

Por tanto:

$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}H+v_{0y}·t-\frac{1}{2}·g·t^2=1.5\Rightarrow 1.8+4·t-\frac{1}{2}·9.8·t^2\\ 0.3+4·t-\frac{1}{2}·9.8·t^2=0\Rightarrow -4.9·t^2+4·t+0.3=0\end{array}\\ t_1=0.88 s;\xcancel{ t_2=-}\end{array}$$ 

Finalmente, conocido t despejamos x

$$x=v_{0x}·t=3·0.88=\boxed{2.65 m}$$