Enunciado

dificultad

Dos cuerpos c1 y c2 comienzan a moverse desde el mismo punto a velocidad angular constante, aunque en sentido contrario, a lo largo de una circunferencia de 30 m de radio. Si el primero tarda 20 segundos en dar una vuelta y el segundo 60 segundos, calcular:

a) El tiempo en que tardan en encontrarse.
b) El ángulo y el espacio recorrido por cada uno de ellos.


Solución

Datos

R = 30 m
T1 = 20 s
T2 = 60 s
φ01=φ02= 0 rad
 

Dado que su trayectoria es una circunferencia y su velocidad angular es constante estamos ante un problema de movimiento circular uniforme o m.c.u.

Cuestión a)

Dado que conocemos el periodo de cada uno de ellos, podemos calcular sus velocidades angulares por medio de la siguiente ecuación:

w=2πT

Por tanto:

w1=2πT1=2π20=π10radw2=2πT2=2π60=π30rad

Ambos cuerpo se encontrarán antes de dar una vuelta. En concreto, cuando lo hagan la suma de sus posiciones angulares serán exactamente 2pi radianes.

φ1+φ2=2π

Por tanto:

φ1=2π-φ2

Si utilizamos la ecuación de posición de φ1 y sustituimos obtenemos que:

φ1=φ01+ω1·t 2π-φ2=0+ω1·t 

Sabiendo que de igual forma φ2=ω2·t, entonces:

2π-φ2=ω1·t  2π-ω2·t=ω1·t (ω1+ω2)·t=2π π10+π30·t=2π t=15 s

Cuestión b)

Si sustituimos el instante de tiempo en el que se encuentran (t = 15 s) y la velocidad angular en la ecuación de posición de φ1, obtenemos que el ángulo recorrido por c1 es:

φ1=π10·15 φ1=1.5π rad

Y el ángulo recorrido por c2 es:

φ2=2π-φ1φ2=2π-1.5π φ2=0.5π rad

Para calcular ahora el espacio recorrido (s) por cada uno de los dos cuerpos, basta con aplicar la ecuación s=φ·R:

s1=φ1·R=1.5π·30 = 45π ms2=φ2·R=0.5π·30 = 15π m

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.