¿Cuando quedamos?

Enunciado

dificultad

Dos cuerpos c₁ y c₂ comienzan a moverse desde el mismo punto a velocidad angular constante, aunque en sentido contrario, a lo largo de una circunferencia de 30 m de radio. Si el primero tarda 20 segundos en dar una vuelta y el segundo 60 segundos, calcular:

a) El tiempo en que tardan en encontrarse.
b) El ángulo y el espacio recorrido por cada uno de ellos.

Solución

Datos

R = 30 m
T₁ = 20 s
T₂ = 60 s
$φ_{01} = φ_{02} = 0 r a d$

Dado que su trayectoria es una circunferencia y su velocidad angular es constante estamos ante un problema de movimiento circular uniforme o m.c.u.

Cuestión a)

Dado que conocemos el periodo de cada uno de ellos, podemos calcular sus velocidades angulares por medio de la siguiente ecuación:

$w = \frac{2 π}{T}$

Por tanto:

$w_{1} = \frac{2 π}{T_{1}} = \frac{2 π}{20} = \frac{π}{10} r a d w_{2} = \frac{2 π}{T_{2}} = \frac{2 π}{60} = \frac{π}{30} r a d$

Ambos cuerpo se encontrarán antes de dar una vuelta. En concreto, cuando lo hagan la suma de sus posiciones angulares serán exactamente 2pi radianes.

$φ_{1} + φ_{2} = 2 π$

Por tanto:

$φ_{1} = 2 π - φ_{2}$

Si utilizamos la ecuación de posición de $φ_{1}$ y sustituimos obtenemos que:

$φ_{1} = φ_{01} + ω_{1} \cdot t \Rightarrow 2 π - φ_{2} = 0 + ω_{1} \cdot t$

Sabiendo que de igual forma $φ_{2} = ω_{2} \cdot t$ , entonces:

$2 π - φ_{2} = ω_{1} \cdot t \Rightarrow 2 π - ω_{2} \cdot t = ω_{1} \cdot t \Rightarrow (ω_{1} + ω_{2}) \cdot t = 2 π \Rightarrow (\frac{π}{10} + \frac{π}{30}) \cdot t = 2 π \Rightarrow t = 15 s$

Cuestión b)

Si sustituimos el instante de tiempo en el que se encuentran (t = 15 s) y la velocidad angular en la ecuación de posición de $φ_{1}$ , obtenemos que el ángulo recorrido por c1 es:

$φ_{1} = \frac{π}{10} \cdot 15 \Rightarrow φ_{1} = 1.5 π r a d$

Y el ángulo recorrido por c2 es:

$φ_{2} = 2 π - φ_{1} \Rightarrow φ_{2} = 2 π - 1.5 π \Rightarrow φ_{2} = 0.5 π r a d$

Para calcular ahora el espacio recorrido (s) por cada uno de los dos cuerpos, basta con aplicar la ecuación $s = φ \cdot R$ :

$s_{1} = φ_{1} \cdot R = 1.5 π \cdot 30 = 45 π m s_{2} = φ_{2} \cdot R = 0.5 π \cdot 30 = 15 π m$

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

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