Cargas en un triángulo rectángulo

Datos

q₁ = -7 µC = -7·10^-6 C
q₂ = 4 µC = 4·10^-6 C
q₃ = 3 µC = 3·10^-6 C

K = 9·10⁹ N·m²/C²

Distancia entre q₂ y q₁. r_2,1 = 10 cm = 0.1 m
Distancia entre q₃ y q₁. r_3,1 = 50 cm = 0.5 m

Resolución

Aplicando el principio de superposición de fuerzas eléctricas, la fuerza (${\overrightarrow{F}}_1$) que actúa sobre q₁ será la suma vectorial de:

• la fuerza que ejerce q₂ sobre q₁ (${\overrightarrow{F}}_{2,1}$). Como q₁ y q₂ tienen distinto signo, ${\overrightarrow{F}}_{2,1}$ será atractiva.
• la fuerza que ejerce q₃ sobre q₁ (${\overrightarrow{F}}_{3,1}$). Como nuevamente q₃ y q₁ tienen distinto signo, ${\overrightarrow{F}}_{3,1}$ será atractiva.

$${\overrightarrow{F}}_1={\overrightarrow{F}}_{2,1}+{\overrightarrow{F}}_{3,1}$$

Vamos a estudiar cada fuerza por separado:

Fuerza ${\overrightarrow{F}}_{2,1}$

Aplicando la ley de Coulomb sobre las cargas q₁ y q₂ obtenemos que:

$${\overrightarrow{F}}_{2,1}=K·\frac{q_2·q_1}{{r_{2,1}}^2}·{\overrightarrow{u}}_{2,1}$$

Por definición, ${\overrightarrow{u}}_{2,1}$ es un vector unitario que tiene la misma dirección que la fuerza y el mismo sentido si q₁ y q₂ tienen el mismo signo y sentido opuesto si tienen signo distinto. En nuestro caso el signo es distinto, por lo que será un vector unitario que va en dirección y sentido contrario al eje y.

¿Ese vector te suena de algo?. Probablemente si, se trata del vector $\overrightarrow{j}$ o $\overrightarrow{u_y}$ pero en sentido contrario. Por tanto, ${\overrightarrow{u}}_{2,1}=-\overrightarrow{j}$:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{F}}_{2,1}=K·\frac{q_2·q_1}{{r_{2,1}}^2}·{\overrightarrow{u}}_{2,1} \Rightarrow \\ {\overrightarrow{F}}_{2,1}=9·{10}^9·\frac{4·{10}^{-6}·-7·{10}^{-6}}{0.1^2}·-\overrightarrow{j} \Rightarrow \\ {\overrightarrow{F}}_{2,1}=-25.2·-\overrightarrow{j} \Rightarrow \\ \underline{{\overrightarrow{F}}_{2,1}=25.2 ·\overrightarrow{j}N} \end{gathered}$$

Fuerza ${\overrightarrow{F}}_{3,1}$

Al igual que con ${\overrightarrow{F}}_{2,1}$, vamos a utilizar la ley de Coulomb, pero esta vez para estudiar la fuerza que ejerce q₃ sobre q₁:

$${\overrightarrow{F}}_{3,1}=K·\frac{q_3·q_1}{{r_{3,1}}^2}·{\overrightarrow{u}}_{3,1}$$

En este caso ${\overrightarrow{u}}_{3,1}$ es precisamente el opuesto del vector $-\overrightarrow{i}$ , ya que "mira" en sentido opuesto al eje x. Por tanto:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{F}}_{3,1}=K·\frac{q_3·q_1}{{r_{3,1}}^2}·{\overrightarrow{u}}_{3,1} \Rightarrow \\ {\overrightarrow{F}}_{3,1}=9·{10}^9·\frac{3·{10}^{-6}·-7·{10}^{-6}}{0.5^2}·-\overrightarrow{i} \Rightarrow \\ {\overrightarrow{F}}_{3,1}=-0.76·-\overrightarrow{i} \Rightarrow \\ \boxed{{\overrightarrow{F}}_{3,1}=0.76·\overrightarrow{i}N} \end{gathered}$$

Una vez que conocemos ambas fuerzas, podemos calcular la fuerza resultante que actúa sobre la carga q₂:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{F}}_1={\overrightarrow{F}}_{2,1}+{\overrightarrow{F}}_{3,1} \Rightarrow \\ \boxed{{\overrightarrow{F}}_1=0.76·\overrightarrow{i }+ 25.2\overrightarrow{ j}} \end{gathered}$$

Por ultimo, para conocer su valor calcularemos su módulo:

$$\begin{gathered} F_1=\sqrt{0.{76}^2+(25.2{)}^2} \Rightarrow \\ \boxed{F_1 =\hspace{0.17em}25.51 N} \end{gathered}$$