Enunciado

dificultad

Dado el sistema de cargas de la figura, determina el valor de la fuerza que experimenta q3 sabiendo que las tres cargas se encuentran en el vac铆o.


Soluci贸n

Datos

K = 9路109 N路m2/C2
r13 = r12 = r23 = 50 cm = 0.5 m

q1 = -2 碌C = -2路10-6 C
q2 = -6 碌C = -6路10-6 C
q3 = 4 碌C = 4路10-6 C

Resoluci贸n

Antes de comenzar a resolver el ejercicio, lo ideal es elegir un sistema de referencia y situar dichas cargas dentro del sistema. Por simplicidad, posionaremos el origen de coordenadas encima de q1.

Si observamos la figura nos daremos cuenta de que la posici贸n de q1 y q2 es:

  • q1 (0,0) m
  • q2 (0.5,0) m

Sin embargo, calcular la posici贸n de q3 no es algo tan trivial. La componente x ser谩 la mitad de la distancia entre q1 y q2 (x = 0.25 m) y para calcular la componente y tendremos que hacer uso de la definici贸n de coseno (o alternativamente del teorema de pit谩goras) teniendo en cuenta que en un tri谩ngulo equilatero todos sus 谩ngulos poseen 60潞 y que cada tri谩ngulo equilatero se puede descomponer en dos tri谩ngulos rect谩ngulos. Girando uno de ellos obtenemos: 

De esta forma para calcular la altura (b) a la que se encuentra la carga q3, basta con aplicar la definici贸n de coseno:

cos 30º=b0.5 mb=0.5 m·cos 30º b =0.43 m

Por tanto la posici贸n de nuestras cargas es:

  • q1 (0,0) m
  • q2 (0.5,0) m
  • q3 (0.25,0.43) m

Aplicando el principio de superposici贸n de fuerzas el茅ctricas, la fuerza (F3) que act煤a sobre q3 ser谩 la suma vectorial de:

  • la fuerza que ejerce q1 sobre q3 (F1,3). Como q1 y q3 tienen distinto signo, F1,3 ser谩 atractiva.
  • la fuerza que ejerce q2 sobre q3 (F2,3). Como nuevamente q2 y q3 tienen distinto signo, F2,3 ser谩 atractiva.

F3=F1,3+F2,3

Estudiando cada fuerza por separado tenemos que:

Fuerza F1,3

F1,3=Kq1q3r1,32u1,3

De todos los valores que necesitamos para calcular F1,3, nos falta u1,3. Sin embargo sabemos que u1,3 es un vector unitario de r1,3, por lo que:

u1,3=r1,3r1,3

Como conocemos la posici贸n de q1 y q3, conocemos los puntos extremo y origen del vector r1,3. Aplicando el concepto de vector:

r1,3=(q3x-q1x)i+(q3y-q1y)jr1,3=(0.25-0)i+(0.43-0)jr1,3=0.25i+0.43j

De aqu铆 sabemos que:

u1,3=r1,3r1,3=0.25i+0.43j0.5u1,3=0.5i+0.86j

Por tanto:

F1,3=Kq1q3r1,32u1,3F1,3=9109-210-6410-60.52(0.5i+0.85j)F1,3=-0.14i-0.24jN

Fuerza F2,3

Aplicando los mismos pasos que para la fuerza anterior:

F2,3=Kq2q3r2,32u2,3F2,3=Kq2q3r2,32r2,3r2,3F2,3=9109-610-6410-60.52(0.25-0.5)i+(0.43-0)j0.5F2,3=0.43i-0.74jN

Una vez que hemos calculado ambas fuerzas, ya estamos en disposici贸n de calcular la fuerza resultante que ejercen q1 y q2 sobre q3:

F3=F1,3+F2,3F3=(-0.14+0.43)i+(-0.74-0.24)jF3=0.29i-0.98jN

Por ultimo, para obtener su valor num茅rico calcularemos su m贸dulo:

F3=0.292+(-0.98)2F3=1.02N

Ficha de f贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
Apartados relacionados
F=K·Q·qr2·ur