El potencial gravitatorio es, junto con la intensidad de campo gravitatorio, la magnitud que se utiliza para cuantificar el campo gravitatorio en un punto. A diferencia del primero, el potencial es una magnitud escalar. Mientras que la intensidad de campo es una magnitud útil para estudiar las fuerzas que aparecen en un cuerpo fruto de la acción gravitatoria, el potencial, como vamos a ver, es útil para estudiar la energía potencial que posee una partícula debido a esta. En este apartado veremos:

¿Empezamos?

Concepto de potencial gravitatorio

Imaginemos una masa m generadora de campo. Si situamos en sus proximidades una masa testigo m', esta contara con una determinada energía potencial gravitatoria. Al igual que ocurría con la fuerza gravitatoria, dicha energía es una magnitud que depende de la masa testigo, por lo que no es exclusiva del campo en sí. Sin embargo, a partir de ella podemos llegar al concepto de potencial y usarlo para cuantificar dicho campo, al igual que hacíamos con el concepto de intensidad de campo gravitatorio a partir de la citada fuerza gravitatoria.

El potencial gravitatorio en un punto es la energía potencial que la unidad de masa m' adquiere al ser colocada sobre dicho punto.

V=Epm'

Donde:

  • V es el potencial gravitatorio en un punto del campo gravitatorio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el julio por kilogramo (J/kg)
  • Ep es la energía potencial gravitatoria que adquiere una partícula testigo m' al situarla en ese punto.

El hecho de que todas las magnitudes sean escalares, permite que el estudio del campo gravitatorio sea más sencillo. De esta forma, si conocemos el valor del potencial gravitatorio V en un punto, podemos determinar que la energía potencial gravitatoria de una masa m situada en él es:

Ep=V·m

Diferencia de Potencial Gravitatorio

Si dos puntos de un campo gravitatorio poseen distinto potencial, entre ambos puntos existe lo que se denomina una diferencia de potencialΔV. Este valor se encuentra íntimamente relacionado con el trabajo gravitatorio. Por definición, el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria para trasladar una masa m en el interior de un campo gravitatorio desde un punto A a otro B se obtiene, de acuerdo a lo ya visto en el apartado sobre energía potencial gravitatoria, por medio de la siguiente expresión:

WgAB=-Ep=EpA-EpB

Si aplicamos la definición de potencial gravitatorio, obtenemos que:

WgAB=EpA-EpB=m·VA-m·VB=m·VA-VB

La diferencia de potencial gravitatorio entre dos puntos A y B de un campo gravitatorio es el opuesto del trabajo realizado por el campo para trasladar una unidad de masa desde el punto A al B.

ΔV=VB-VA=-WgABm

Donde la unidad de medida en el Sistema Internacional de la diferencia de potencial gravitatorio es el julio por kilogramo (J/kg).

Potencial gravitatorio creado por una masa puntual

Una única partícula m es capaz de crear un campo gravitatorio a su alrededor. Si en dicho campo introducimos una masa testigo m' , entonces, aplicando la definición de potencial gravitatorio y atendiendo a la definición de energía potencial gravitatoria de dos masas puntuales, nos quedaría que:

V=Epm'=-G·M·m'rm'=-G·mr

El potencial gravitatorio del campo gravitatorio creado por una masa puntual m se obtiene por medio de la siguiente expresión:

V=-G·mr

Donde:

  • V es el potencial gravitatorio en un punto. Su unidad de medida en el Sistema Internacional ( S.I. ) es el julio por kilogramo ( J/kg )
  • G es la constante de gravitación universal. Su valor es G = 6.67·10-11 N·m2/kg2
  • m es la masa puntual que crea el campo gravitatorio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional ( S.I ) es el kilogramo ( kg )
  • r es la distancia entre la masa y el punto donde medimos el potencial. En el Sistema Internacional ( S.I. ) se mide en metros (m).

La expresión anterior también es válida para el potencial que genera una masa esférica, siempre que r > R, siendo R el radio de la esfera.

Propiedades

El potencial de campo gravitatorio creado por una masa puntual o una masa esférica de radio R tiene las siguientes propiedades:

  • Depende de la masa que lo crea y es independiente de la masa o masas a las que pueda afectar
  • Su valor, como ocurre con la energía potencial, es negativo a una distancia genérica de la masa y aumenta de forma inversamente proporcional a esta hasta llegar a un valor máximo de 0 a una distancia infinita
  • Su valor es el mismo para todas las partículas que se sitúan a una determinada distancia de la masa generadora. Dicho con otras palabras: tiene simetría esférica
El potencial gravitatorio del campo generado por una masa crece exponencialmente cuanto mayor es la distancia con respecto a dicha masa

Potencial Gravitatorio

A medida que nos alejamos de la masa generadora de campo el potencial gravitatorio, cuyo valor depende de la masa generadora, aumenta. En el infinito el potencial, al igual que la energía potencial gravitatoria, es cero.

Potencial gravitatorio creado por varias masas

Si el campo gravitatorio es creado por varias masas puntuales, el potencial gravitatorio en un punto sigue el principio de superposición:

El potencial gravitatorio originado por n masas puntuales en un punto de un campo gravitatorio es la suma escalar de los potenciales gravitatorios en dicho punto creados por cada una de las n masas por separado.

V=V1+V2++Vn=i=1nVi

O lo que es lo mismo:

V=-G·m1r1+m2r2++mnrn

El potencial en un punto dentro del campo gravitatorio creado por varias masas es la suma de los potenciales creados individualmente por cada una de ellas.

Potencial Gravitatorio

Podemos obtener el potencial gravitatorio generado por un conjunto de partículas en un punto sumando las contribuciones de cada uno de los potenciales que crea cada partícula por si sola. De esta forma en el punto gris de la figura, el potencial corresponde con:

V = V+ V+ V+ V4

La expresión anterior también es válida para el potencial que genera un conjunto de masas esféricas.

Relación con la intensidad de campo

Si consideramos el módulo de la intensidad de campo gravitatorio, podemos comprobar que está estrechamente relacionado con el valor del potencial gravitatorio:

g=G·mr2 ; V=-G·mr g=-dVdr

Sin embargo en esta observación, no hemos tenido en cuenta que la intensidad de campo g  es un vector, frente al potencial V, que es un escalar.

Aunque una comprobación más rigurosa queda fuera del alcance de este nivel, y dado que, en general, V depende de x, y y z, podemos analizar como varía V en función de x dejando fijas y y z. Esta variación será la componente x de la intensidad de campo  g . Posteriormente variando y y dejando fijas x y z podemos conocer gy. Finalmente, variando z y dijando x e y podemos conocer la componente z de  g . Así, podemos concluir:

En un campo gravitatorio, la intensidad del campo en función del potencial se puede obtener por medio de la siguiente expresión:

g=-Vx·i+Vy·j+Vz·k

O también:

g=-gradV=-V

Donde:

  • El operador indica derivada parcial y se utiliza igual que el operador derivada d, salvo que sobre funciones que dependen de varias variables, como es el caso de V. Así, cuando derivamos respecto a una variable,por ejemplo respecto a x, trataremos el resto, en nuestro ejemplo, y y z, como si fueran constantes
  •   es el operador nabla, usado en su representación vectorial para simbolizar el gradiente de un campo escalar, que representa justamente la operación realizada con V

En ocasiones resulta también de utilidad seguir un camino complementario al anterior que nos permita conocer la diferencia de potencial a partir de la intensidad de campo. Para ello partiremos de la definición de diferencia de potencial obtenida anteriormente y aplicaremos la expresión del trabajo gravitatorio:

WgAB=ABFg·drV=-WgABmV=-ABFg·drm-V=VA-VB=ABg·dr

Superficies equipotenciales

Aquellos puntos contiguos donde el valor del potencial gravitatorio es el mismo, reciben el nombre de superficies equipotenciales. Cada punto de una superficie equipotencial se caracteriza porque:

  • El campo gravitatorio, también conocido como intensidad de campo gravitatorio g , es perpendicular a la superficie en dicho punto y se dirige hacia valores decrecientes de potencial
  • Cada punto solo puede pertenecer a una superficie equipotencial, ya que el potencial eléctrico es un único valor en cada punto

En la siguiente imagen están representadas algunas superficies equipotenciales y lineas de campo de una masa puntual genérica.

Representación de las líneas de campo y las superficies equipotenciales del campo gravitatorio creado por una masa puntual

Superficies Equipotenciales

Las círcunferencias concéntricas de la figura son la representación de las superficies equipotenciales. En cada punto de cada una de ellas el potencial tiene el mismi valor, decreciente a medida que la circunferencia está más próxima a la masa generadora (V< V< V3). Por otro lado, la intensidad de campo gravitatorio, representada en la imagen por las flechas concéntricas, siempre es perpendicular a las superficies equipotenciales y apuntan hacia potenciales decrecientes.

Si lo deseas puedes ampliar información sobre otras formas de representar el campo gravitatorio.

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Masa en función del potencial gravitatorio

dificultad
Determina la masa que debe tener un cuerpo puntual para que su campo gravitatorio asociado tenga un potencial de -7 J/kg a 30 metros del mismo. 

Potencial gravitatorio de un sistema de cuatro partículas

dificultad

En cada uno de los vértices de un cuadrado de dos metro de lado se distribuyen cuatro masas de 1000 kg que podemos considerar esféricas. Determina la energía potencial gravitatoria que adquirirá una masa considerada puntual de 3 kg situada en el centro del cuadrado suponiendo que los radios de las esferas son de 0.5 m. Posteriormente determina la energía potencial que adquiriría otra masa, también puntual, de 6 kg.

Diferencia de potencial gravitatorio

dificultad
Determina el trabajo desarrollado por el campo gravitatorio sobre una partícula cuya masa es de 10 kg cuando se desplaza desde un punto con potencial -75 J/kg a otro con potencial -50 J/kg.

Intensidad de campo gravitatorio a partir de potencial

dificultad

Sabiendo que el potencial gravitatorio de cierta masa puntual varía en el espacio en función de la distancia r según V(r) = -3·10-7/r J/kg, determina:

  • La masa que genera el campo
  • La intensidad de campo gravitatorio en función de las coordenadas cartesianas x,y y z

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Potencial Gravitatorio. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

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Potencial gravitatorio

V=Epm'

Diferencia de potencial gravitatorio

ΔV=VB-VA=-WgABm

Potencial gravitatorio creado por una masa puntual, o una esfera, en su exterior

V=-G·mr

Potencial gravitatorio creado por varias masas

V=V1+V2++Vn=-G·m1r1+m2r2++mnrn=i=1nVi

Relación entre potencial e intensidad del campo gravitatorio

g=-Vx·i+Vy·j+Vz·k

Ficha de apartados relacionados

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