Trabajo de la Fuerza Gravitatoria

Si aplicas una fuerza sobre un objeto que se desplaza decimos que la fuerza que estás ejerciendo realiza un trabajo. Del mismo modo, si un cuerpo se desplaza bajo la acción de una fuerza gravitatoria, esta realiza también un trabajo denominado trabajo gravitatorio. En este apartado estudiaremos la expresión general del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando el cuerpo se desplaza en una trayectoria recta. Además, particularizaremos para el caso de que tengamos un campo generado por una masa puntual.

Pero antes de comenzar, recuerda que la gravedad no es una fuerza constante, sino que varía con la distancia al cuerpo que la crea. Por ello, comenzaremos estudiando cómo podemos calcular el trabajo que realizan las fuerzas variables.

¿Empezamos?

Trabajo realizado por una fuerza variable

En apartados anteriores hemos estudiado las gráficas del trabajo cuando nos encontramos con una fuerza constante y con una fuerza variable. En cualquiera de los dos casos, y siempre que nos encontremos ante un movimiento rectilíneo, el valor del trabajo coincide con el área encerrada bajo la curva. Sin embargo, en el nivel anterior dejábamos abierta la cuestión de cómo calcular de manera precisa dicha área en el caso de las fuerzas variables.

Desde un punto de vista gráfico, la idea es dividir el área total en rectángulos infinitamente estrechos, calcular el área de cada uno y sumar estas para determinar el área total bajo la curva.

Desde un punto de vista físico, lo que estamos haciendo es considerar desplazamientos infinitamente pequeños $d \vec{r}$ . Al ser estos tan pequeños, la fuerza $\vec{F}$ permanece constante en cada uno de ellos, por lo que podemos escribir:

$d W = \vec{F} \cdot d \vec{r}$

El trabajo total W realizado por la fuerza entre su posición inicial y la final vendrá dado por la suma de tales trabajos realizados en desplazamientos infinitamente pequeños, denotados dW. Para realizar dicha suma recurrimos en matemáticas a la integral definida.

El trabajo que realiza una fuerza a lo largo de una trayectoria rectilínea viene determinado por la expresión:

W = \int_{r_{0}}^{r} d W = \int_{r_{0}}^{r} \vec{F} \cdot d \vec{r}

Donde:

W, dW: Es el trabajo total realizado por una fuerza y un diferencial de trabajo respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el julio ( J )
$\vec{F}$ : Es la fuerza que actúa durante el recorrido. Puede ser constante o variable. Su unida de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el newton ( N )
$d \vec{r}$ : Se trata de un diferencial de recorrido. Podemos suponer que la fuerza $\vec{F}$ permanece constante en él. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro ( m )
r₀ y r: Valores límite del recorrido,es decir, los valores en los que comienza y termina el cálculo del trabajo realizado por la fuerza. Dado que se trata de un movimiento rectilíneo, se corresponden a los valores de distancia al origen de los puntos inicial y final respectivamente

Cálculo de fuerza variable

La base de cada rectángulo representa el desplazamiento infinitesimal, denotado como dr. El trabajo realizado en cada desplazamiento infinitesimal es un infinitésimo de trabajo, es decir dW. La suma de todos ellos entre r₀ y r resulta ser el valor buscado.

Trabajo gravitatorio

El trabajo realizado por la fuerza de la gravedad o trabajo gravitatorio necesario para desplazar una masa desde un punto A hasta otro B a través de una trayectoria recta se obtiene por medio de la siguiente expresión:

W_{g (A \to B)} = \int_{A}^{B} {\vec{F}}_{g} \cdot d \vec{r}

Donde:

$W_{g (A \to B)}$ es el trabajo que realiza la fuerza de la gravedad o trabajo gravitatorio. En el S.I. se mide en julios (J)
${\vec{F}}_{g}$ es la Fuerza gravitatoria que experimenta la masa. En el S.I. se mide en newtons (N)
$d \vec{r}$ : Se trata de un diferencial de recorrido. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro ( m )

La fuerza gravitatoria descrita por la ley de la gravedad, al igual que otras fuerzas como la fuerza elástica o la fuerza eléctrica, es una fuerza central y por tanto es una fuerza conservativa. Esto implica que:

El trabajo que realiza una fuerza gravitatoria para mover un cuerpo desde una posición A hasta otra B, únicamente depende de dichas posiciones y no del camino seguido para llegar de A a B. Es por esta razón que, aunque la expresión anterior es válida sólo cuando la trayectoria es una linea recta, los resultados son válidos para cualquier trayectoria seguida. Esta restricción nos permite obtener el trabajo mediante integrales definidas frente a integrales de linea, fuera del alcance de este nivel, en las que si que debemos considerar la expresión matemática de la trayectoria seguida
Cuando el camino que sigue el cuerpo entre A y B es un camino cerrado o ciclo, el trabajo gravitatorio es nulo.

Fuerza Gravitatoria = Fuerza Conservativa

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para llegar desde el punto P₁ a P₂ es el mismo por la trayectoria azul, verde o roja.

Observa que si la trayectoria partiese de P₁ y volviese a P₁ o partiese de P₂ y volviese a P₂, el trabajo sería nulo.

Trabajo realizado por fuerza gravitatoria en un campo creado por una masa puntual

Cuando una masa M crea un campo gravitatorio en el que se introduce otra masa m, esta última sufrirá los efectos de una fuerza gravitatoria, fruto de su interacción con el campo. El trabajo que realiza dicha fuerza para trasladar m desde un punto A a otro B cualquiera no depende de la trayectoria, por lo que podemos considerar una trayectoria radial como la de la figura inferior.

Trabajo entre dos puntos A y B

Sistema de dos masas que nos permite calcular el trabajo realizado por el campo gravitatorio para llevar una partícula del punto A al punto B

Así, tenemos que:

$W_{g (A \to B)} = \int_{A}^{B} {\vec{F}}_{g} \cdot d \vec{r} = (G \cdot \frac{M \cdot m}{r_{B}} - G \cdot \frac{M \cdot m}{r_{A}})$

O de forma más simplificada:

$W_{g (A \to B)} = G \cdot M \cdot m \cdot [\frac{1}{r_{B}} - \frac{1}{r_{A}}]$

donde:

G es la constante de gravitación universal. Su valor en unidades del Sistema Internacional es de 6.67·10^-11 N·m²/kg²
M y m son lo valores de las dos masas puntuales. En el S.I. se miden en kilogramos ( kg )
r_A es el valor de la distancia que separa M y el punto A y r_B es el valor de la distancia que separa M y el punto B. En el S.I. se miden en metros ( m ).

Desarrollo de la integral

Podemos desarrollar la integral anterior teniendo en cuenta algunas consideraciones. Por un lado, el valor de la fuerza gravitatoria $F_{g} = G \cdot \frac{M \cdot m}{r}$ . Por otro, su su sentido es justo el contrario al de $d \vec{r}$ , tal y como podíamos ver en la figura anterior. Además, recordando la expresión del producto escalar de dos vectores, tenemos que ${\vec{F}}_{g} \cdot d \vec{r} = F_{g} \cdot d r \cdot \cos (α) = F_{g} \cdot d r \cdot \cos (180 º) = - F_{g} \cdot d r$ . Con todo esto, nos quedaría:

$W_{g (A \to B)} = \int_{A}^{B} {\vec{F}}_{g} \cdot d \vec{r} = \int_{A}^{B} - G \cdot \frac{M \cdot m}{r^{2}} \cdot d r = - G \cdot M \cdot m \int_{A}^{B} r^{- 2} \cdot d r = = G \cdot M \cdot m {[\frac{1}{r}]}_{A}^{B} = (G \cdot \frac{M \cdot m}{r_{B}} - G \cdot \frac{M \cdot m}{r_{A}}) = G \cdot M \cdot m [\frac{1}{r_{B}} - \frac{1}{r_{A}}]$

Finalmente, ten presente que, aunque esta forma de calcular el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es perfectamente válido, es más habitual en ejercicios que nos valgamos del concepto de energía potencial gravitatoria para ello. Adelantamos aquí la expresión que los relaciona:

$W_{g} = - ∆ E_{p_{g}}$

Interpretación del signo del trabajo

Recordemos cómo podemos interpretar el signo del trabajo:

α > 90º : Trabajo positivo (W>0)
α < 90º : Trabajo negativo (W<0)
α = 90º : Trabajo nulo (W=0)

En el caso de la fuerza gravitatoria, dado que G, M y m son siempre positivas, el signo vendrá determinado por 1/r_B - 1/r_A . Observa entonces, que:

( 1/r_B - 1/r_A) > 0 : Esto se cumple cuando r_B< r_A,es decir, el cuerpo se acerca a la masa generadora de campo M. El trabajo será positivo (W_g > 0). Es la tendencia "natural" del trabajo gravitatorio, cuando no existe más fuerza que la gravitatoria actuando sobre el cuerpo
( 1/r_B - 1/r_A) < 0 : Esto se cumple cuando r_A< r_B,es decir, el cuerpo se aleja de la masa generadora de campo M. El trabajo será negativo (W_g < 0). Para que esto pueda ocurrir, debe existir una otra fuerza externa actuando sobre la partícula m que se opone a la fuerza gravitatoria y que es la que "impone" el sentido del movimiento. En definitiva, dicha fuerza sería la responsable última de que la masa m se aleje de la masa generadora de campo M, en contra de su tendencia "natural".

Ejemplo

Dos masas m₁=10 kg y m₂=50 kg se encuentran situadas respectivamente en los puntos (0,0) m y (4,0) m de un sistema de coordenadas en el vacío. Si pasado un tiempo m₂ se desplaza hasta la posición (8,0) m, ¿Cual es el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria que actúa sobre m₂?¿Y si, una vez allí, la masa se desplaza al (6,0) m? Sería este último valor igual si m₂ se hubiese desplazado directamente desde (4,0) m a (6,0) m ? ¿Qué te sugiere el signo del trabajo en cada caso?

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Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

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