Enunciado

dificultad

Determina la potencia que deber铆a tener un oscilador arm贸nico para que generase una onda en una cuerda de 9 m de longitud que se rija聽por la ecuaci贸n:

yx,t=10cos2x-90tcm

Ten presente que el peso de la cuerda tensa es de 聽7 N.聽


Soluci贸n

Datos

  • Ecuaci贸n de onda arm贸nica: yx,t=10cos2x-90tcm
  • Peso de la cuerda: P=7N
  • Longitud de la cuerda: 鈭唜=9m

Consideraciones previas

Para poder determinar la potencia, en vatios, hemos de usar unidades del Sistema Internacional. La funci贸n de onda nos la dan en cm. Es importante que tengamos esto muy presente para convertir las unidades de aquellas magnitudes que sean necesarias.

Resoluci贸n

En primer lugar, sabemos que la potencia del oscilador arm贸nico se define como la energ铆a que suministra por unidad de tiempo, es decir:

P=Et

Tambi茅n sabemos que la energ铆a del oscilador viene dada por:

E=12m2A2

Ahora bien, observa que si sustituimos en la f贸rmula inicial de la potencia nos quedar铆a una variable, t, de la que no conocemos su valor. Sin embargo podemos hacer algunas transformaciones que nos simplificar谩n los c谩lculos:

P=Et=12m2A2t=12x2A2t=112v2A2

Donde hemos aplicado:

1v=xt

Ahora nos resta el c谩lculo de , , v y A. El valor de , la densidad lineal de masa, se calcula dividiendo la masa total de la cuerda entre su longitud, es decir:

P=mgm=Pg=79.8=0.71kg;=mx=0.719=0.078kg/m

Donde con P estamos refiri茅ndonos esta vez el peso de la cuerda.

Por otro lado, el valor de la velocidad de propagaci贸n podemos determinarlo sabiendo que la onda recorre una distancia igual a la longitud de onda en un tiempo igual a su periodo T, es decir v=位/T. Para conocer聽 debemos conocer previamente, por ejemplo, el n煤mero de onda k, con el que se relaciona seg煤n k=2路蟺/位. Sabemos que k es el factor que acompa帽a a x en la ecuaci贸n de la onda, es decir, k=2路蟺 cm-1. Ahora, observa que, dado que la ecuaci贸n de la onda est谩 en cm, la constante k est谩 en cm-1. Debemos pasarla a unidades del Sistema Internacional (m-1):

k=2cm-12102m-1=200m-1

Ya estamos en disposici贸n de determinar la longitud de onda:

k=2=2k=2200=1100m

Para determinar el periodo, procedemos de la siguiente manera, sabiendo que la frecuencia angular es el factor que acompa帽a a t:

f=1TT=1f=12=1902=145=0.022s

Ya estamos en disposici贸n de calcular la velocidad de propagaci贸n:

v=T=1/1001/45=0.45m/s

Finalmente, la amplitud de la onda es el factor que acompa帽a al coseno, convirtiendo sus unidades al Sistema Internacional:

A=10cm=0.1m

Con todos los par谩metros calculados estamos en disposici贸n de determinar la potencia de la onda que ser谩 la del foco asociado a la misma:

P=12v2A2=120.0780.459020.12=14.03W

No hemos encontrado ninguna f贸rmula destacable en este ejercicio.